Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen uad nichtkonvexen Polyeder. 135 • 



beider Kurven ergibt sich natürlich das schon behandelte autopolare Polyeder. 

 — Ein Polyeder, dessen innerer Kern Werte 0, t der Kurve Cio hat, ist 

 das zu dem früher behandelten, für welches = -, t = 2 war, reziproke für 



ö 



ö = -, T = T- Es wird dann /< = A = 3a, f = 6a, < = -, s = -, Äo : /^a = 1 : 1/2. 

 Das Modell dieses Polyeders zeigt Fig. 15 Taf. 22; die Fläche ist in Fig. 8 

 Taf. 6 dargestellt. Die Ecken, in denen je zwei Ecken verschiedener 

 Sphenoide liegen, sind gewissermassen sechskantig von der zweiten Art 

 und haben den Querschnitt Fig. 7 Taf. 7. — Der Gleichung der Kurve C,o 



genügt aber auch = ^'^, t = 1/2 + 1; in diesem Falle ist also der Kern 



der Sphenoidgrupitierung die A. V. des Triakisoktaeders. Es ist dann: 



^ = ;i = (1/2 + 1)«, V = (1/2 +1)2«, t = ^-^ +i, s = i±j/^; d. h. die Hülle des 



Polyeders ist die A. V. des (6 + 8 + 12) -flächigen 24-Ecks. Dieses Polyeder 

 ist also polarreziprok dem schon wiederholt erwähnten. Es ist im Modell 

 in Fig. 8 Taf. 22 dargestellt; seine Fläche zeigt Fig. 2 Taf. 5. Das Polyeder 

 gehört zugleich der ersten Gruppe rhombischer S])henoide an, und ist also 

 als solches reziprok zu dem genannten anderen, das zugleich der vierten 

 Gruppe rhombischer Sphenoide angehört. 



Fragen wir nach den Sphenoidgruppierungen, deren Kern ein Triakis- 

 oktaeder ist, soweit sie nach den Ecken zar zweiten Klasse gehören, so 



haben wir in den allgemeinen Formeln der Gruppe t = 2»; zu setzen. Dann 



1 , 8ö(ö — l)a , 4<;a , , 2 



kommt: ,« = - — \- — \-, ;. = 2<;a, v = — — -, also t 



l_4(,j_i)-2' • ' i_4(,;_i)2' "^" (2ö — 1(5 — 2ö)' 



s = -_ii'(- ^r^ ^iiid für die Kanten des Hüllpolyeders ergibt sich die 

 Proportion: Z;, r/c^ :/.-3 = [l—4<; (0—1)] : [1 + 4(0 -ip] : 4(0— 1)1/2. Es sind also 

 die Hüllpolyeder im allgemeinen (6 + 8 + 12) -flächige 2. 24 -Ecke. Für <j = -^ 



r, n -.*■ 11 , 11 55 , 2b 37 , , , , ,- 



z.U. ist ,« = Y^a, Z=—a, v = —a, i = —, ^■=^ ^^^(^ /^i r/.-.:^» = 7:13:5l/2. 



Für die A. V. des Triaki.soktaeders ergibt sich das bereits behandelte Polyeder, 

 dessen Hülle die A. V. des (6 + 8 + 12) -flächigen 24-Ecks ist. 



Wir bestimmen endlich diejenigen Gruppierungen, deren Hülle ein 



8.3-Eck ist. Dann ist ?. = v und die und t sind die der Kurve C^. Es 



• 1 1 , ora T-((j — 1)« 1 1 -i , 2ö 



wird dann ;. = v = ;, ^ = — ^ ~ und damit t = — — r, s= - 



2(J+t(o-— 1) 2(J+r(a— 1)' 



