1-ii Max Brückner, 



und T, , etwa: s=f?(öi,Ti), t = 'P{a^,T^) mid diese müssen identisch werden 



mit — und — , falls die beiden durch 41) und 46) definierten Polyeder polar- 



reziprok sind. Zum Beweis, dass 4>(ö|,T|) .g, = i ist, setze man 2ö, (r, + 1) 

 — 3t, = a, 2 ö| 2 — t, = i, 2 ö — t, = c zur Abkürzung ; dann ergibt sich nach einiger 



n X. T, X 2c(a — c) 2c(a— c) 



Rechnung: *(ö|,t, )==-—, tttt — t;, — -, sv. = t^ T". v^v \ — ;^-5 ^. 



*' 2c(a — c) + (o — c)- — (a — b)- 2c(a — c)-|-2o(a— c) — (o^ — c-) 



2 c 

 = = . Führt man ietzt die «, b, c wieder ein, so folgt nach kurzer 



Rechnung 0(ö|,T|) = — . Ebenso beweist man die zweite Gleichung 



o 

 "1 



1 





§ 3. Die uielitkoiiYexen Polyeder erster und zweiter Klasse 

 des Hexakisoktaedertypiis. 



1. Übersicht der Stephanoidgruppierungen des Typus. Nach 

 Erledigung der diskontinuierlichen konvexen zugleich gleich- 

 eckigen und gleich flächigen (nicht regulären) Polyeder des Hexakis- 

 oktaedertypus wenden wir uns zur Betrachtung der nichtkonyexen Polyeder 

 und beginnen mit denen der zweiten Klasse, deren Oberfläche und Inhalt 

 Null ist. Die diskontinuierlichen Polyeder dieser Beschaffenheit, die 

 sämtlich Gruppierungen von Stephanoiden sind, bilden wiederum ge- 

 schlossene Gruppen, aus denen sich teilweise die weiteren Polyeder 

 als spezielle Fälle ergeben. Wir beschäftigen uns daher zunächst mit den 

 Stephanoidgruppierungen des Hexakisoktaedertypus. 



Gruppierungen von Stephanoiden können im allgemeinen (6 + 8-1-12)- 

 flächigen 2. 24 -Eck nicht existieren, da sich dessen Ecken dreimal nur als 

 die dreier halbregulärer achtseitiger Prismen anordnen lassen, in diesen 

 aber Stephanoidgruppierungen unmöglich sind. Sind aber diese Prismen 

 regulär, d. h. die beiden Deckflächen jedes Prismas regelmässige Achtecke, 

 so sind Stephanoidgruppierungen nicht ausgeschlossen. Nun gibt es im 

 achtseitigeu regulären Prisma zwar drei Arten von Stephanoiden, nämlich 

 die St^ C,% St^ Q) und -S^ (i) =; 2 St'i (J), von denen aber nur die letzten im 

 Hexakisoktaedertypus realisierbar sind, wofür der Beweis nachträglich in 

 Nr. 4 dieses § geführt ist. Untersuchen wir zunächst die Bedingungen, 



