Die gleicbeckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. lo5 



Auf ein zweites kontiiniierliches Nullpolyeder, das dem eben be- 

 schriebenen polarreziprok ist, führt nun die zweite und dritte Gruppierung 

 der Stephanoide im Hexakisoktaedertypus, deren Kern die A. V. des Deltoid- 

 ikositetraeders ist. Die Spuren in der Ebene i) dieses Kern[)olyeders sind 

 die Geraden 3), 12), 23), 17) und 7), 3), 18), 22). Vergl. Fig. 5 Taf. 4. Durch 

 Tilgung der Geraden 3) tritt an Stelle der beiden überschlagenen Vierecke 

 P2P3P4P, und P5P1P3P1 das Sechseck dritter Art F^PiP^F^F^F^iP^) mit drei 

 ausspringenden und drei einspringenden Winkeln und abwechselnd positiven 

 und negativen Flächenzellen. Da je zwei Zellen kongruent sind, so ist der 

 Gesamtinhalt der Fläche und der Oberfläche des Polyeders, also auch dessen 

 Inhalt Null. Auch bei der Grenzfläche dieses Polyeders fallen zwei Ecken 

 in einem Punkte (P,), d. h. einer Ecke des Hüllpolyeders zusammen. Da 

 die deltoidförmige Zelle der Fläche den Koeffizienten Null hat, besitzt auch 

 die innerste Zelle des Polyeders, das Deltoidikositetraeder, den Koeffizienten 

 Null; doch ist das Polyeder ringsum geschlossen, da sämtliche Arten von 

 Achsen das Innere der Grenzfläche oder wenigstens deren Kanten treffen. 

 Die Ecke des Polyeders ist sechskantig von der sechsten Art und von der- 

 selben Gestaltung wie die des reziproken Polyeders. Fig. 9 Taf. 24 zeigt 

 das Modell dieses Nullpolyeders. Die Koordinaten der Ecken des um- 

 hüllenden (6 -F 8) -flächigen 8. 3 -Ecks ergeben sich aus den allgemeinen 

 Werten der ;., //, r der Stephanoide der zweiten Gruppe für = ^ — » nämlich 

 ^ = (2 1/2— 1)«, X = v = {i + 1/ 2)a; natürlich ist s = 2(2l/2— 1), t = 1/2— 1. Für 

 die Koordinaten der Eckpunkte der Fläche FiFiPiPiP^Pi gilt: P - 3, (^ X, — .«); 

 P, - 20, {—X, — //, X); F, = 7, (X, —X, //); F, ^ 14, {— X, X, (i); P, - 24, {— (t, — X, X). 

 Danach sind die Kanten der Grenzfläche: 



P, P2 ^P^Fr,= \/'4X-^ + 2(X + fj)^ = 2a\/2{S + 1/2); 



PiF, = F,F^ = F,P, = P,F, = 2l/lM^72 = ^lJ2 + 2iX — ft)i = 2a\/2ilO + \/2). 



Was endlich die Art des Polyeders betrifft , so ist hier JS'« = 24 . 6, 

 ^a = 24 . 3, ^ = 24 . 3, ^x = 24 . 3, d. h. ^ = 3G, d. h. das Polyeder ist ein 

 24 (6)1; -eckiges 24 (6)3 -Flach der 36. Art.') 



Hiermit sind die kontinuierlichen Nullpolyeder des Hexakisoktaeder- 

 typus gefunden, die sich aus den Stephanoidgruppierungen mit besonderen 



1) Vergl. Hess, Marb. Ber. Nr. 1. 1877. S. 11. 



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