156 • Max Brückner, 



Kernen ergeben. Eine Betrachtung der Grenzflächen der beiden Polyeder 

 zeigt nun, dass deren Ecken identisch sind mit den Ecken der Flächen der 

 beiden polarreziproken Gruppierungen der zweiten Gruppe rhombischer 

 Sphenoide, deren Kern die A. V. des Triakisoktaeders und Deltoidikositetra- 

 eders ist (Fig. 2 Taf. 5 und Fig. 4 Taf. 7). Man kann in der Tat die 

 Grenzflächen dieser Sphenoidgruppierungen als konvexe Sechsecke zweiter 

 Art, P,P2P:,P,P4P5 auffassen, deren äussere Zellen deji Koeffizienten l haben, 

 während der inneren deltoidförmigen Zelle dann der Koeffizient + 2 zu er- 

 teilen ist. Für die Zahlen der Formel von Hess hätte man dann: 2;« = 24. 2, 

 ^a = 24.2, Z = 24.3, 2';« = 0, also A = 12 , d. h. die Anzahl der Sphenoide, 

 die das Polyeder bilden. Suchen wir nun alle diejenigen Sphenoid- 

 gruppierungen, deren Kerne spezielle Polyeder sind, derart, dass Ecken der 

 beiden Grenzflächen zusammenfallen (damit mehr als dreikantige Flächen 

 entstehen können), so sind die Hüllen ebenfalls spezielle Körper, da ja in 

 der einen Ecke, und somit in allen (weil das Polyeder gleicheckig sein soll) 

 mehr als drei Flächen durch einen Punkt gehen. Ausser den schon ge- 

 fundenen beiden Sphenoidgruppierungen hat die genannten Eigenschaften 

 nur die zweite Gruppierung rhombischer Sphenoide für den Fall, dass der Kern 



eine besondere Varietät des Deltoidikositetraeders (ö = ii "*" , T = —"t J^) 



V 2 3 /' 



die Hülle das polarreziproke 24 -Eck war, also die autopolare Gruppierung 



rhombischer Sphenoide im 24 -Eck für s = l/3 — l, <= 21/3—3 (Fig. 7 Taf. 5). 

 Wie man in Fig. 18 Taf. 6 sieht, bilden die Verbindungslinien der Ecken 

 der beiden dreiseitigen Grenzflächen in der Reihenfolge PiP2P;)PiP4P5(P|) 

 ein Sechseck dritter Art mit je zwei positiven nnd negativen kongruenten 

 Zellen und einer inneren deltoidförmigen Zelle des Koeffizienten Null. Dies 

 ist die Fläche eines dritten kontinuierlichen Nullpolyeders, dessen Kern und 

 Hülle polarreziproke Polyeder sind und das selbst autopolar ist. Das Modell 

 zeigt Fig. 4 Taf. 24. Die Ecken des Polyeders sind sechskantige der 

 sechsten Art von derselben Konfiguration wie bei den ersten beiden kon- 

 tinuierlichen Nulli)olyedern. Da, wie bei der Sphenoidgruppierung, die die 

 Ecken mit dem Polyeder gemein hat, A = // = (2 + l/3)a, r = (3 + 2l/'3)a ist, 

 so gilt für die Kanten des Hüllpolyeders: h.-.h^ = i-.V^-^^y'i. Die Kanten 

 der Grenzfläche sind die drei Kanten des rhombischen Sphenoids. Es ist: 



