Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 157 



PiPj =PiP4 = 2a|/ 9 + 51/3, P,P,=PiF, =4a\ 't+ITs, F^F^^P.F-, = 2a|/33 + 191/3. 



Für die Art Ä des Polyeders findet man, da -^« = 24.6, ^« = 24.3, 

 X = 24 . 3 und ^x = 24 . 3 ist, ^ = 36 wie für die beiden vorigen Nullpolyeder. 

 Sind hiermit die aus Sphenoidg-ruppierungen ableitbaren Nullpolyeder 

 bereits erschöpft, so noch nicht die aus den allgemeinen Stephanoid- 

 gruppierungen sich ergebenden. Kehren wir zurück zu dem System 

 von Stephanoiden der ersten und dritten Gruppe, die ein gemeinsames Kern- 



und Hüllpolyeder besitzen, für welche a = ^ ^~^ , r = 3— 1/2 und s = i^A±^^ 



t=^^A)Ll ist. Fig. 1 Taf. 9 zeigt die beiden Grenzflächen ÄiÄiÄiÄi und 



ÄiÄsÄ-iÄ^ der beiden Stephanoidgruppierungen (vergl. Fig. 8 Taf. 8 und 

 Fig. 9 Taf. 8) in einer vollständigen Figur des Hexakisoktaeders. Die 

 Ecken des gemeinschaftlichen 2. 24 -Ecks der beiden Stephanoidgruppierungen 

 sind nun zugleich die Ecken eines neuen Nullpolyeders, dessen Fläche das 

 Sechseck ÄlAiÄ3A^Ä■,Ai{A^) ist. Diese Fläche besteht aus zwei positiven 

 dreieckigen Zellen und einer negativen viereckigen Zelle, während die 

 innere, die Fläche des Hexakisoktaeders enthaltende Zelle Null ist. Der 

 Gesamtinhalt der Fläche, die Summe zweier Stephanoidflächen , ist Null. 

 Die drei Kanten ^1^21 ^2-^5 und A-^Ai kehren dem Mittelpunkte des um- 

 beschriebenen Kreises ihre Aussenseite, die übrigen die Innenseite zu. Die 

 Winkel A^ und A^ sind überstumpf. Die Art der Fläche ist a = 3. Auch 

 diese nichtkonvexe Grenzfläche hat zwei ihrer Ecken in einer Ecke des 

 umhüllenden 2. 24 -Ecks, so dass die Ecken des Nullpolyeders, obgleich die 

 Grenzfläche durch jede ihrer Ecken nur vier Ebenenspuren aufweist, sechs- 

 kantig sind. Bei diesen sechskantigen Ecken liegen also zwei Seitenflächen 

 in einer Ebene. Jede Ecke hat vier ausspringende und zwei einspringende 

 Kantenwinkel (vergl. die Fig. 12 Taf. 6 der Ecke mit der Figur der Fläche 

 des Polyeders) und von ihren Flächenwinkeln ist einer überstumpf, die fünf 

 übrigen sind ausspringend. Die Art der Ecke ist a — 0. Dann gilt für die 



Art des Polyeders die Gleichung 2^ = 48.3-f-48.5— 48.3— 48.2, d.h. J. = 72 = —. 



Das Modell dieses autopolaren Nullpolyeders zeigt Fig. 11 Taf. 25, sowie 

 Fig. 12 Taf. 26. Da die Grenzfläche von allen Arten Achsen A, B und C 

 getroffen wird, so ist die Oberfläche des Polyeders eine geschlossene, aber 



