lob Max Brückner, 



der innerste Kern, das Hexakisoktaeder ist nicht realisiert. Die Koordinaten 

 der Ecken einer Grenzfläche sind die der Flächen der Stephanoide der 

 ersten und dritten Gruppe, d. h. es ist: ^, =- 23 (—X, v, fi); A, -"- 15 {X, —v, ,«); 

 A3 = 28 (X, V, —fi); Ai E= 17 (— ,«, —v, X); A-, = 32 (r, — A, — //). Von den Kanten 

 der Grenzfläche sind je zwei gleich und es sind diese Kanten nach auf- 

 steigender Grösse 



AiAj = AoA-, = 2\/X-^+fi-^ = 2a^ 2(10— 1/2), 



Ai A^ = ^1 J.4 = 2\/'v^ + //2 r= 2 a \/ 2 (27 + 12 1/2), 

 ^1^2 =-43^4 = 21/'ä2 + v^ = 2a\/''i (26 + 17 1/2), 



da die sich zunächst aus den Koordinaten ergebenden Ausdrücke für die 

 Quadrate der Kanten sich vereinfachen lassen, weil wegen der besonderen 

 Werte von /, //, v die Relationen 2X=^v — //, 2/,« = /^ — /«- gelten und 

 // = (3 — 21/ 2)a, ;. = (21/2 + 1)0, v=:(5 + 3l/2)a ist. Der Radius der um- 

 beschriebenen Kugel des Polyeders hat den einfachen "Wert «1/7(9 + 41/2). — 

 Weitere nichtkonvexe Polyeder der zweiten Klasse, deren Art also 

 bei Vertauschung der beiden Oberflächenseiten umgeändert bleibt, existieren 

 für den Hexakisoktaedertypus nicht, wenn die Polyeder zugleich gleicheckig 

 und gleichflächig sein sollen. Denn erteilt man den beiden Dreiecken, aus 

 denen die Grenzfläche irgend einer Sphenoidgruppienmg für alle die Fälle 

 zusammengesetzt ist, in denen der innere Kern ein besonderes (24 -flächiges) 

 Polyeder des Typus darstellt, ohne dass Ecken der beiden Dreiecke zu- 

 sammenfallen, verschiedene Vorzeichen, so erhält man nichtkonvexe Polyeder, 

 die zwar kongruente sechskantige Grenzflächen der Art a = 3 und des 

 Inhalts Null besitzen, wie sie Fig. 5 Taf. 1 zeigt, deren dreikantige Pocken 

 aber in zwei gleichmächtige Gruppen von Ecken verschiedener Art zer- 

 fallen. Denn während die von drei Ecken A, C\ E gebildete körperliche 

 Ecke die Art 1 besitzt, hat eine von den drei Ecken B, D, F gebildete 

 Polyederecke drei überstumpfe Kantenwinkel und ist von dem vierten Typus 

 (vergl. die Tabelle in Kap. I § 1 Nr. 2), d. h. der Art « = 5. Diese Polyeder 

 sind also gleichflächig, aber nicht gleicheckig. Vertauscht man die Innen- 

 seite ihrer Oberfläche mit der Aussenseite, so geht jede Fläche in sich 

 selbst über, ebenso das ganze Polyeder, dessen Art also -4 = — ist. Eine 



