Die gleicheckig-gleichflächigen, diBkontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 159 



weitere Betrachtung solcher Vielflache müssen wir als nur beiläufig der 

 Anm.') zuweisen. 



6. Die nichtkonvexen Polyeder erster Klasse des Hexakis- 

 oktaedertypus. Von den drei im Hexakisoktaedertypus existierenden nicht- 

 konvexen Polyedern erster Klasse sind zwei bereits von Hess angegeben 

 worden. Ihre Ecken fallen mit denen der beiden ersten in voriger Nummer 

 beschriebenen kontinuierlichen Nullpolyeder zusammen und beide Polyeder 

 sind einander reziprok. Verbindet man die Punkte PiPiP-iPiP^ in der voll- 

 ständigen Figur der A. V. des Triakisoktaeders in der genannten Reihen- 

 folge (Fig. 10 Taf. 4), so entsteht ein nichtkonvexes Fünfeck zweiter Art 

 mit einer positiven deltoidförmigen Zelle und einer negativen dreikantigen 

 Zelle, von deren fünf Winkeln zwei, die bei P, und P^, überstumpf, die 

 anderen konvex sind. Das von 24 solche^ Flächen, deren Inhalt grösser 

 als Null ist, begrenzte Polyeder hat also als Kern und Hülle, wie das 

 Nullpolyeder, das die Ecken mit ihm gemein hat, die A. V. des Triakis- 



1) Wir wählen als Beispiel eines solchen gleichflächigen, aber nicht gleicheckigen, 

 Nullpolyeders das, dessen Kern das Rhombendodekaeder ist, und dessen Ecken die Ecken 

 der A. V. des (6 -|- 8) -flächigen 4.6-Ecks sind. Dieses Polyeder zeichnet sich durch seine 

 Einfachheit aus, denn es besitzt nur abwechselnde positive und negative Raumzellen des 

 Koeffizienten 1, von denen je vier längs einer Geraden — den Geraden Äi N oder Ä-iN in 

 der Figur der Grenzfläche, Fig. 9 Taf. 7 — zusammenhängen, während die sechs Komplexe 

 von je vier so zusammenhängenden Zellen nur in den Achsenpunkten B, den Doppelpunkten 

 des Sechsecks, einen punktuellen Zusammenhang besitzen. Das ganze Innere des Polyeders 

 fällt heraus. Es ist ^-a^ia.S, 2a = 12.1 + 12 .5, K=^12.S, .S'x = 12.3, d.h. 



^ = 18 = — . Von den sechs den Körper bildenden Sphenoiden sind drei von innen, 



drei von aussen zu färben. — Die polarreziproken Polyeder sind natürlich gleicheckig, aber 

 nicht gleichflächig. Ein solches Vielflach besitzt lauter sechskantige Ecken, die bei ümkehrung 

 der Färbung in sich selbst übergehen, deren Art also « = 6 ist. Die Flächen sind aber 

 zwei Gruppen kongruenter Dreiecke, mit teils innerer, teils äusserer Färbung, also von der 

 Art 1 bezw. 2. Wählen wir als Beispiel das zu dem eben beschriebenen polare Polyeder, 

 dessen Kern die A. V. des Tetrakishexaeders, dessen Hülle das Kubooktaeder ist. Es ist 

 JL'a = 12.1 + 12.2, ^« = 12.6, ^=36, .2'x^l2.3, denn jedes der innen gefärbten 



TT" 



Dreiecke hat drei überstumpfe Winkel, d. h. J. = 18 = — . Das Modell dieses Polyeders 



ist genau das der Fig. 3 Taf. 22, nur sind alle äusserlich sichtbaren dreieckigen Begrenznngs- 

 teile der Oberfläche abwechselnd schwarz und weiss gefärbt. Die auf dem inneren Tetrakis- 

 hexaeder aufsitzenden körperlichen Zellen sind abwechselnd positiv und negativ, während die 

 innerste Zelle selbst den Koeffizienten Null besitzt. Wir können hier auf diese Gruppe 

 gleicheckiger oder gleichflächiger Nullpolyeder nicht weiter eingehen. 



