160 Max Brückner, 



Oktaeders und die A. V. des (6 + 8 + 12) -flächigen 24-Ecks. Jede der 24 

 kongruenten fünf kantigen Ecken des Polyeders, deren Querschnitt Fig. 9 

 Taf. 6 zeigt, besitzt zwei überstumpfe Kantenwinkel {CD und DE) und drei 

 überstumpfe Flächenwinkel {C, D und E) und hat die Art a = 4. Die Art A 

 des Polyeders ist also (weil 2:ß = 24.4, ^^« = 24.2, ir= 12.5, -S'x = 24.2) ^ = 18. 

 Das Modell dieses 24-eckigen 8.3-Flaches der 18. Art ist in Fig. 6 Taf. 24 

 dargestellt. Was übrigens die Koordinaten der Ecken einer Grrenzfläche 

 und deren Kanten betrifft, so sind nur die bereits früher berechneten Werte 

 abzuschreiben, denen die Kante P;,P4 = 2/II/2 = 2(2 + i/2)a hinzuzufügen ist. 

 Vertauscht man bei diesem Polyeder die Ausseuseite mit der Innenseite, so 

 ist die Art A' = K — J. == 42 , d.h. verschieden von A. — Das diesem ersten 

 Polyeder polarreziproke hat zum Kerne die A. V. des Deltoidikositetraeders, 

 zur Hülle die A. V. des (6 +8) -flächigen 8. 3 -Ecks. In der vollständigen 

 Figur des Kernes (Fig. 4 Taf. 4) ergibt sich die Grenzfläche des Polyeders 

 durch Verbindung der Punkte P1P2P3P4P5 als konvexes Fünfeck zweiter 

 Art mit lauter positiven Zellenkoeffizientcn; doch wendet die Kante P3P4 

 dem Mittelpunkte der Fläche ihre Aussenseite zu. Die Ecken des nicht- 

 konvexen Polyeders besitzen nur einen überstumpfen Flächenwinkel, längs 

 dessen Kante zwei Flächen in den Geraden PaP4 an einander grenzen, 

 während die übrigen Flächenwinkel und sämtliche Kantenwinkel konvex 

 sind. Die Art der Ecke ist sonach « = 2. Für dieses Polyeder, dessen 

 Modell Fig. 5 Taf. 24 zeigt, ist ^"a = 24.2, ^« = 24.2, K=b.\2, ^ä: = 0, 

 also A = 18. Zu den bereits früher berechneten Kanten P, Po = Pi I\, 

 PiPi^PfP; ist noch P3P4 =: 2>li/2 = 2(3l/2 + 2)a zu fügen. 



Das dritte nichtkonvexe Polyeder erster Klasse im Hexakisoktaeder- 



typus hat zum Kerne die besondere Varietät des Hexakisoktaeders, = rz-^_, 



T = 3 — 1/2, für welche die Stephanoide der ersten und dritten Gruppe eine 

 gemeinsame umbeschriebene Kugel besitzen und die zu einem kontinuierlichen 

 Nullpolyeder führte. Verbindet man die Punkte, die die Ecken einer Fläche 

 jenes Nullpolyeders bilden (vergl. Fig. 4 Taf. 9) in der Reihenfolge 

 ^1 J4^3^2A(A), so erhält man ein Fünfeck zweiter Art mit zwei positiven 

 und einer negativen Flächenzelle (der absolut genommen kleinsten), das 

 einen überstumpfen Winkel in A-i besitzt. Das von 48 solchen Fünfecken 



