Die gleicheckig-gleicbflilchigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 161 



begrenzte nichtkonvexe Polyeder, dessen Modell in Fig. 12 Taf. 25 dar- 

 gestellt ist, hat 2.24 fünf kantige Ecken, 24 rechte und 24 linke, von der 

 durch Fig. 10 Taf. 6 angedeuteten Gestalt des Querschnittes. Eine solche 

 Ecke hat einen überstumpfen Kantenwinkel, den Winkel A3 der Grenz- 

 fläche, und einen überstumpfen Flächenwinkel, dessen Kante J.3J.4 ist. 

 Ihre Art ist « = 3. Da also für das Polyeder IJa = 48.2, -S'« = 48.3, ^=24.5 

 und 2"x^48.l ist, so ergibt sich nach der Formel von Hess für seine Art 

 der Wert ^ = 36. Das Polyeder ist au to polar. Für die Kanten der 

 Grenzfläche hat man die Werte, die bei dem letzten kontinuierlichen Null- 

 polyeder angeführt sind, zu nehmen. Die Grenzfläche hat also nur drei 

 nach ihrer Grösse verschiedene Kanten: A^Ä^^, A^A-., == ^^,^4 = A.A^ und A-iAt. 

 Es ist hier der Ort, auf jenes neunte in der Übersicht Kap. I § 3 

 angegebene konvexe kontinuierliche gleicheckig -gleichflächige Polyeder hin- 

 zuweisen, das den acht bereits von Hess beschriebenen konvexen kontinuier- 

 lichen Polyedern beizufügen ist. Allerdings muss man dann auch für kon- 

 vexe Polyeder die Eigentümlichkeit für die Grenzfläche zulassen, dass zwei 

 ihrer Ecken in einer Ecke des Hüllpolyeders zusammenfallen, sowie für die 

 Ecke, dass zwei ihrer Seitenflächen in einer Ebene liegen und sich somit 

 zum Teil überdecken. Verbindet man nämlich in der eben behandelten 

 Figur des Hexakisoktaeders (Fig. 10 Taf. 8) die Punkte A in der Reihen- 

 folge AiA--,AiAiA,iAi{Ai), so ergibt sich ein konvexes kontinuierliches Sechs- 

 eck zweiter Art mit drei äusseren Zellen des Koeffizienten 1 und einer 

 inneren Zelle mit dem Koeffizienten 2. Das von 48 solchen Flächen be- 

 grenzte Polyeder besitzt sechskantige Ecken des Querschnittes «, ß, y, 6, s, C, 

 wie Fig. 4 Taf. 6 zeigt, ohne überstumpfe ebene und Flächen winkel, die 

 von der Art « ^ 2 sind. Die beiden Flächen aß = AiAiA;, und ös = A^AiA-i 

 der Ecke liegen in einer P^bene. Die Art des Polyeders ist, da ^a = 48.2, 

 ^ß = 48 . 2, ^ = 48 . 3 und ^x = ist , A = 24. Überdies ist das Polyeder 

 autopolar. Es ist das einzige gleicheckig -gleichflächige kontinuierliche 

 konvexe Polyeder des Hexakisoktaedertypus.') 



<) Das Modell ist nicht dargestellt. Sein Äusseres stimmt mit Fig. 11 Taf. 25 überein, 

 wenn man sich die nach dem Innern dieses Modells führenden, durch das Ausfallen der 

 Flächenstücke A^AiAr, der GrenzÜiiche bewirkten Öffnungen durch Fortsetzung der Ebenen 

 AiAiA2 und A--,AiA2 geschlossen denkt. 



Nova Acta LXXXVI. Nr. 1. 21 



