162 Max Brückner, Die gleicheckig -gleichfläcbigen, diskontinuierlichen usw. 



Zum Schlüsse wäre nun noch die Frage zu beantworten, ob in der 

 Tat mit den bisher besprochenen alle im Hexakisoktaedertypus möglichen 

 diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder erschöpft seien. Ein strenger 

 Beweis wird sich dafür umsoweniger führen lassen, als die unbeschränkte 

 Variabilität der Grössen und t der Kernpolyeder innerhalb des Gebietes 

 der konvexen Hexakisoktaeder verlangen würde, eine unendliche Menge voll- 

 ständiger Figuren des Hexakisoktaeders und der besonderen gleichfläcbigen 

 Polyeder zu untersuchen. Es läge immerhin die Vermutung nahe, dass für 

 besondere Werte von und t sich weitere nichtkonvexe Polyeder ergäben. 

 Doch beachte man folgende Bemerkungen. Sicher ist bereits die Reihe 

 derjenigen Polyeder erschöpft, die Gruppierungen von Sphe- 

 noiden und Stephanoiden darstellen. Verfolgt man aber ein dis- 

 kontinuierliches konvexes gleicheckig -gleichflächiges Polyeder zurück auf 

 die kontinuierlichen Einzelpolyeder, so sind diese selbst konvex und gleich- 

 eckig-gleichflächig. Sind sie selbst von der ersten Art, so können es nur 

 quadratische oder rhombische Sphenoide sein, da andere gleichflächig -gleich- 

 eckige Polyeder erster Art, ausser den regulären Polyedern,') nicht existieren. 

 Diese Polyeder sind aber gewiss erledigt. Bleibt die zweite Möglichkeit, 

 dass bereits die Einzelpolyeder von höherer als erster Art sind. Solche 

 gleicheckig -gleichflächige Polyeder müssten aber selbst dem Hexakis- 

 oktaedertypus angehören oder dem Doppelpyramidentypus, und deren sind 

 keine vorhanden, ausser dem einen oben angeführten 48 -Flach; d. h. es gibt 

 keine weiteren diskontinuierlichen konvexen Polyeder. — Was nun die 

 kontinuierlichen nichtkonvexen Polyeder beider Klassen anbetrifft, so sind 

 trotz planmässigen Untersuchens der vollständigen Figuren aller irgendwie 

 ausgezeichneten inneren Kerne keine weiteren als die beschriebenen Polyeder 

 gefunden worden. Ob es deren noch geben kann, bleibt aber eine offene 

 Frage, wiewohl es auffällig erscheinen muss, dass alle vorhandenen nicht- 

 konvexen Polyeder beider Klassen in engen Zusammenhang mit den Sphenoid- 

 und Stephanoidgruppierungen, die sicher vollständig erledigt sind, gebracht 

 werden können. 



1) Das Tetraeder trat tatsächlich als Spezialfall quadratischer Sphenoide auf! 



