Die gleicheckig-gleichflächigen, dislcontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 165 



Es ist cp + x + W = 90". Überdies seien noch für spätere Verwendung') 

 die Werte angeführt: 



cot gp = ——}— , sin<p = / ? V3., cos f = \/ "^'^° , cos i^ = ^^, sin ^ = —7=^. 



Legt man durch die Endpunkte G, C, B je dreier benachbarter Strahlen 

 Ebenen, so erhält man die 120 Grenzflächen des gleichflächigen Dyakis- 

 hexekontaeders 1., die ungleichkantige Dreiecke sind, 60 rechte und 60 

 linke Flächen. Der polarreziproke Körper, das (12 + 20 + 30) -flächige 2.60- 

 Eck, entsteht, falls man in den Endpunkten der Achsen senkrechte Ebenen 

 zu ihnen legt. Die den 120. Teil der Kugel enthaltende Zentralecke ist 

 die Polarecke zu jeder Ecke des gleicheckigen Polyeders, das 60 rechte 

 und 60 linke (symmetrische) Ecken besitzt. Die gleichflächigen Polyeder 

 2. — 7. ergeben sich nun aus dem ersten für bestimmte Verhältnisse der 

 Länge der Strahlen G, C und B. Wir setzen die Länge der Achse C für 

 alle Körper konstant. Bezeichnen wir dann für das Dodekaeder die Länge 

 des fünfzähligen und zweizähligen Strahles mit Gd und Bd, so ist: 



Gd ^ ^ cot 9) . cos 99 ; Bd = -/^ cot q). 



Für die übrigen gleichflächigen Polyeder setzen wir nun B ^= Bd-o, 

 G = Gd-T, worin und r reelle Parameter sind, die nur für das Dodekaeder 

 zugleich 1 sind; sonst sind sie ^ 1, damit das zugehörige Polyeder konvex ist. 

 Die Maximalwerte ö„ und t„, ergeben sich für das Ikosaeder, für > ö™ und 

 r > Tm werden die entstehenden Polyeder zu nichtkonvexen (Koiloedern). 



2. Analytisch -geometrische Behandlung des Dyakishexekon- 

 taeders. Zur analytisch -geometrischen Behandlung der sämtlichen Polyeder 

 des Typus führen wir ein rechtwinkliges Koordinatensystem ein, das sich 

 wegen der Relation fp + x + ip^W^ von selbst darbietet. Die Lage der 

 positiven x-, y- und ^-achse sei die gleiche wie bei dem Koordinatensystem 

 im vorigen Kapitel, somit auch die Vorzeichen in den acht Oktanten. 



') Für die Rechnung beachte man auch folgende Relationen: cot 9) ^ 1 + tan gj; 

 cot"'' q) = 1 + cot cp = 2 + tan q>; tan^ 9) = l — tan 9) = 2 — cot 9); cot 3 99 = 1 + 2 cot 91; 

 tan 3 9) -- 2 tan cp — 1 ; cot '' 9) = 2 + 3 cot 91 ; tan "i 91 = 2 — 3 tan (jp. 



