Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. Iby 



gleichzeitig erfüllen. Bestimmen wir nun u\,i als Winkel zwischen den 

 Flächen l) und ii), w,o, 4 als Winkel zwischen 1) und 10), m;,o,6 als Winkel 

 zwischen den Flächen 1) und 2), so ergeben sich für die cosinus der Winkel, 

 ausgedrückt durch die Koeffizienten der Grleichungen der betreffenden Ebenen 

 die Werte: 



«1 a-i + hl h-i + C | c-i 



cos tüin,f, ^ 



Das Pentakisdodekaeder ergibt sich für cos «•,0,4 = 1, d. h, 

 Ol = (ö — i)^cotg? = o, woraus = 1 folgt. Das Triakisikosaeder wird 

 für cos u\,i = 1 erhalten, d. h. es ist hi = — & = 0, also = d^, oder = t cos^gp. 

 Für das Deltoidhexekontaeder ist cos «•40,6 = 1, d.h. (ai^' + fti^ + ci^) (a.,2 

 + &>^ + c-r) = (a, a^ + 6, 62 + Ci Ci)'. Diese Crleichung lässt sich auf die Form 

 bringen : 



■o^ 



(6| «2 «1 hy + (Ci 02 — fli C2)- + (C| &2 — ^1 «2)^ = 0, 



woraus folgt, dass die Quadrate links einzeln verschwinden. Diese drei 

 Bedingungen ergeben, wenn man die Werte der Koeffizienten einführt und 

 die Relationen berücksichtigt, die für die trigonometrischen Funktionen von 

 (p gelten, für das Deltoidhexekontaeder jede dieselbe Gleichung 

 4^ — ö — öö-cot295 = 0, d.h.: 



ö =: — — - — — — oder r =^ 



1 +^00129) (4 cot 2 91) cos 2 (jD 



Für die drei letzten Polyeder des Typus leitet man leicht dann die 

 folgenden Werte für und r ab: Für das Triakontaeder ist zugleich 



= 1 und ö = ^, d.h. T = — 5-. Für das I kos ae der folgt aus ff = ^ , „ ^, 

 ' cos^<p l + y-cot^go 



und ö = & ö = ^ = 3tan2ffi, also r = — ^— . Für das Dodekaeder endlich 



^' cos^<p 



1 4* „ 1 5 + 1/5 , 



ist wegen = 1 und = — — 7 — -7;— 0- = - rr- = — ztt^ = *^°^ 9'- 



*' l + &cot^(p 4 — cot ^9 10 



Nova Aota LXXXVI. Nr. 1. 



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