180 Max Brückner, 



Die vollständig-en Figuren der Ebenen des Triakontaeders, Ikosaeders 

 und Dodekaeders können selbstverständlich in derselben Weise wie die der 

 bisher besprochenen Polyeder nach Berechnung der Distanzen der Achsen- 

 punkte gezeichnet werden; doch kommt man hier in noch einfacherem Ver- 

 fahren zum Ziele. Die vollständige Figur des Triakontaeders 

 (Fig. 5 Taf. 14) ist bestimmt, wenn man die vier Seiten des Quadrates 

 C3C5C6C4 je zweimal nach dem goldenen Schnitt innen und aussen teilt, 

 [in den inneren Punkten M (vergl. Fig. 3 Taf. 14), so dass also d 3L' = C-^M^^ 

 = C^Mf-CsC^ ist, in den äusseren Punkten (vergl. Fig. 3 Taf. 17), so dass 

 z. B. C3O3 . Clßi = C^C-^ wird] und dann sämtliche Spuren zieht , wie es die 

 Figuren zeigen. Die innerste Zelle ist die rhombische Fläche des Tria- 

 kontaeders.^) Die vollständige Figur des Ikosaeders (Fig. 6 Taf. 8) 

 ergibt sich, wenn man die drei Kanten des regulären Dreiecks G^G-^G'^ je 

 zweimal innen nach dem goldenen Schnitte teilt [z. B. G4C7' = G-^C-^ = ö^ .ftjQ] 

 und die Geraden zieht, wie es die Figur anzeigt.^) Die vollständige 

 Figur des Dodekaeders, Fig. 7 Taf. 10, spricht für sich selbst. Damit 

 sind sämtliche in Frage kommenden Polyeder des Dyakishexekontaedertypus 

 erschöpft. 



8. Das gleicheckige (12 + 20 + 30)- flächige 2. 60 -Eck und die 

 speziellen gleicheckigen Polyeder des Typus. Die gleicheckigen 

 Polyeder des Dyakishexekontaedertypus sind die polarreziproken der be- 

 sprochenen gleichflächigen in Bezug auf eine feste Kugel um das Zentrum 

 dieser als Direktrix. Als Radius dieser Kugel nehmen wir die konstante 

 dreizählige Achse C, die Flächenachse des Ikosaeders. Dessen beide andere 

 Achsen, die fünfzählige G. und die zweizählige i?, sind, wie sich aus 



Ga.Gi = Ci xmA Ba.Bi = Ci ergibt: G.= C1/3 *^^, ^. = Cl/3 .tan g,. Das 



^ ^ cos 9) 



allgemeinste gleicheckige Polyeder, das (12 + 20 + 30) -flächige 2. 60 -Eck, wird 

 nun aus dem Ikosaeder durch gerade, zu den Achsen senkrechte, Abstumpfung 

 der Ecken und Kanten erhalten. Sind die fünfzählige und die zweizählige 



1) Die Figuren sind nur soweit ausgeführt, wie sie im folgenden gebraucht werden. 

 Vergl. Hess, lieber die zugleich gleicheckigen und gleichflächigen Poheder. Cassel 1876, 

 S. 72 und V. u. V. Tafel 11 Fig. 18 (mit sämtlichen Spuren). 



2) Vergl. V. u.V. Tafel 11 Fig. 17. 



