184 Max Brückner, 



und hieraus findet man: 



89) 



arg cot y + ya + z-^ cot^ y 



2 (X-, + 2/, + r,) ' 



I , X--, cot (I + £■= 



l« = " , ' , " COS 2 f/;. 



% + ys + ^5 



Bedeutet nun für das allgemeine (12 + 20 + 30) -flächige 2.60-Eck Ä-, 

 die gemeinsame Kante einer vierkantigen und zehnkantigen Grenzfläche, 

 hl die einer sechs- und zehnkantigen Fläche und h^ die einer vier- und 

 sechskantigen Grrenzfläche, so ist, wie ein Blick auf den Körper zeigt, 

 Ä'i = 2a:,, hi = 2yi (die Koordinate der Ecke 1)), und h = 2yi (die Koordinate 

 der Ecke 12)). Man findet nach einiger Vereinfachung die Proportion: 



cot -^ (T / t cot 2 (f\ 



90) Ä-, :A-o:A-3 =(1— s)^7^: s ^ ^ 2cos2g;:(<— SCOS««)). 



Durch Nullsetzen der einzelnen Kanten ergeben sich mederum die 

 Bedingungen für die besonderen gleicheckigeu Polyeder. Führt man die 

 "Werte für die trigonometrischen Funktionen des Winkels y ein, so wird: 



90') U"i -■ h ■■ h = (l — s) (3 1/5 + 5) : [2 (5 + 1/5) 5— 5 < — (5 + 2 l/ö)] 

 l :[l0t—{5+\/5)sl 



Für die Parameter s und < ergeben sich aus 90) bezw. 90') als 

 Funktionen der Kanten /.j, k-i, A-j die Ausdrücke: 



91) 



^ Ä-| coty + 2fc. +Z.-3 __ (l/5 + l)Ä;| + 4Z.-2 + 2^ :3 

 ~ 3/;, tany + 2/.2 + /cj ~ s(\/b—l)k, + 4Ä-^ + 2Ä3 ' 



^ ^ (A-, coty + 2fcj)co8^y + 7^) ^ (5 + 3 \/b) Jcf + 2 (5 + [/s) h, + 10 A3 

 3A-, taiigD+2A-2 + A-3 l5(l/5 — 1) Ä'i + 20A-o + lOA-j 



Die A. V. des (12 + 20 + 30) -flächigen 2. 60 -Ecks ergibt sich für 



/.-, = A-, == A-3, d. h. für s = 51/^1=1, t=\^. 



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AA''ir betrachten nun die besonderen gleicheckigen Polj-eder. Das 

 (l2+20)-flächige 12.5-Eck wird für A-, =0 erhalten. Es ist dann s = 1. d.h.: 



A-j : A3 = ( 1 — ££il5[) 2 cos2 y : (t — cos-i^) 



\ 4cos25p 4 y ^ ^ ^^ 



