Die gleicheckig-gleicliflächigen, diskontinuierlichen und niclitkonvexen Polyeder. loO 



oder h-i : Ä-3 = 5 (l/ö — 2) (1—0 : [10 (l/ö — 2) < — (3 1/5 — 5)]. Für t ergibt sich als 

 Funktion der Kanten: < = ^+M^^. Die A. V. findet man aus 



Jc.2^hi, d. h. wenn t = ^^ + V ^ [^i Yür Ä-, =0 und /c^ — ergibt sich das 



15 



(12 + 20) -flächige 30 -Eck oder Triakontagon. p]s ist dann s = 1, 



^ = 5-1-1/5 ^ cos^cp. Für Z-| =: 0, /c, = erhält man das Ikosaeder, für das 

 10 



also s = 1, t=i ist. 



Für das (l2 + 20)-flächige 20.3-Eck ist /cj =0. Dann ist < = 5cos2gr, 



oder s =^ ~y- -t- Für die Kanten des Polyeders findet man: 



Ici : h, = 2(1— s) : (3ssin2y — cos'-'^)) = 20(1— s) : [3(5— l/ö) s — (5 + l/ö)], 



wonach: 



kiCoUp+JJc-i ^ (['b + 1) J:,i + U-i 

 3kl tan 9) + 2'JCi 3 (^/g_i)i^j + 4^^ 



und 



15(1/5 — 1)7m -f-20Ä;2 

 Für fci = Jci ergeben sich die Werte von s und t für die A. V. des 



20. 3 -Ecks zu: 3 = °^-^-^^, t = ^~ '^^v^ . Für h=o ergibt sich wieder das 



22 11 1 e 



Triakontagon. Die Werte von .s und t des (12 + 20 + 30)-flächigen 60-Ecks 

 endlich befriedigen die bereits angeführte Relation , die aus k-i = sich 

 ergibt und mit Einsetzung der trigonometrischen Funktionen die Form 



s = — ^^'t + ^y-^ annimmt. Das Verhältnis der Kanten k^ und ks ist hier: 



8 8 



fci : kj = (1 — s) : (3s — cot'-rp) tan r/3. 



Daraus findet man: 



^ ^ k, cot cp + k-, ^ {\/'b+l )ki + 2h yjj^ 

 3 7t 1 tan r/i + kj 3 (|/5 _ 1) ^^ ^ 2 k, 



_ ^1 cotycos^y + /J3 _ (5 + 3i/5)Aii + 10^:3 

 ~ 3^1 tan 9) -I- Ä;;, ~ 15 ((/g _ i) /,;, + lo/cj ' 



Aus /m=/';-3 ergibt sich für die A. V. des Polyeders: s = ?^tAk_o^ 



22 



^ ^ iSjfj^l/ö ^ Ist A-3 = o, so erhält man die Werte s und < für das 

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Nova Acta LXXXVI. Nr. 1. 24 



