186 . Max Brückner, 



Dodekaeder: s=lcot^-rp, t = - cot^ (p cos-^ q^, d.h. g^^j/j ^^5 + 2i/5^ _ 



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Für spätere Diskussionen wird es vorteilhaft sein, auch hier die Beziehungen 

 zwischen den s und t für die gleicheckigen Polyeder als Gleichungen von 

 ,,Kurven" in einem rechtwinkligen Koordinatensystem der s, t zu deuten 

 (vergl. Fig. 6 Taf. 12). Die in Frage kommenden drei Kurven sind nach 

 dem eben Besprochenen die folgenden. Die der /-achse parallele Gerade C\ 

 mit der Gleichung s = l für die (12 + 20) -flächigen 12.5-Ecke läuft durch 

 den Ikosaederpunkt / (l, l) und den Triakontagonpunkt T (i, cos-rp), für den 

 <= 0,72361 ist. Die Gerade C'o mit der Gleichung t = scos^qc für das (12 + 20)- 

 flächige 20. 3 -Eck geht durch den Punkt T und den Dodekaederpunkt D 

 (^^, «ot^^^^£^?^^ flir welchen s = 0,87268, <-=0,63i48 wird. Die Gerade 



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C'i endlich, deren Gleichung t = iscoa-cp — cot^^pcos^^j für die Parameter des 



(12 + 20 + 30) -flächigen 60 -Ecks ist, verläuft durch I und D. Das von den 



drei Geraden C',, C, und C'^ gebildete Dreieck ist das Gebiet der Werte s 



und t für die konvexen (12 + 20 + 30) -flächigen 2. 60- Ecke. 



§ 2. Die Splienoidgruppieruiigeii des Dyakishexekontaedertypus. 



1. Allgemeine Ableitung der möglichen fünf Gruppierungen. 

 AVir beginnen die Betrachtung der zugleich gleicheckigen und gieichflächigen 

 Polyeder höherer Art des Dyakishexekontaedertypus mit den diskontinuier- 

 lichen konvexen Vielflachen, die bis auf einige wenige (vergl. den Anhang 

 dieses §) Gruppierungen von rhombischen oder quadratischen Sphenoiden 

 sind. Die zuletzt genannten sind hier nur sekundären Charakters und er- 

 geben sich aus den vorhergehenden für bestimmte Varietäten der inneren 

 Kerne der Polyeder. Wir haben nun zunächst die im Typus möglichen 

 fünf Gruppierungen von je 30 rhombischen Sphenoiden allgemein zu er- 

 schliessen. Hierzu kann man sowohl von dem inneren Kern als auch der 

 äusseren Hülle, dem allgemeinen (12 + 20 + 30) -flächigen 2. 60- Eck ausgehen. 

 Fassen wir zunächst das letztgenannte Polyeder ins Auge. Nach den 

 Koordinaten der Ecken hatten wir fünf Gruppen solcher zu unterscheiden, 

 Avobei die Ecken jeder Gruppe dieselben zyklisch -vertauschten Koordinaten- 

 werte besassen. Jetzt gruppieren wir die 120 Ecken fünfmal in der Weise, 



