Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. Ia7 



dass in jeder der fünf Gruppen jeder Anordnung diejenig-en 24 Ecken ent- 

 halten sind, die in gleicher Weise zu den drei Achsen der fünf Koordinaten- 

 systeme liegen, die man erhält, wenn man die fünfmal zu je drei auf einander 

 senkrechten J5-achsen [B.B^^B^,, B.,By.B,u B.BtB^, B^B^B,, B,B,Bia] zu Ko- 

 ordinatenachsen wählt. Die Lage der Ecken zu den fünf Koordinaten- 

 systemen ist dann bei den fünf Anordnungen in der Reihenfolge der früheren 

 fünf Gruppen zu nehmen. Mit anderen Worten, wir gruppieren die 120 

 Ecken des (12 + 20 -F 30) -flächigen 2. 60 -Ecks auf fünferlei Weise als die 

 15.8 Ecken von 15 achteckigen (2 + 2 + 2) -Flachen, die sich in das a.eo-Eck 

 beschreiben lassen, d. h. mit diesem die Ecken gemein haben. Fassen wir, 

 um nicht sämtliche 120 Ecken fünfmal schreiben zu müssen, nur die senk- 

 recht stehende mit der ^-achse zusammenfallende Achse jB, ins Auge, so 

 sind die acht Ecken des ersten (2 -H 2 -f- 2) -Flaches jeder der fünf Anordnungen 

 die folgenden; 



92) 



I.Anordnung: 1, 11, 20, 10, 101, 111, 120, 110. 



2. „ 2, 21, 30, 9, 91, 112, 119, IOC 



3. „ 12, 22, 29, 19, 92, 102, 109, 99. 



4. „ 3, 31, 40, 8, 81, 113, 118, 90. 



5. „ 13, 32, 39, 18, 82, 103, 108, 89. 



D.h. die Ecken des ersten (2 + 2 -|- 2) -Flaches jeder Anordnung sind 

 die Ecken der ersten Reihe in den fünf Gruppen der ursprünglichen Ecken- 

 gruppierung (s. vorige Nr.). Für die Achsen ^i:, und -B15 lassen sich selbst- 

 verständlich die Ecken der (2 + 2 + 2)- Flache ebenso aus den beiden anderen 

 Reihen der früheren Gruppen ablesen, während die Ecken der weiteren 

 (2 + 2 + 2) -Flache erhalten werden, wenn man der Reihe nach die vier 

 übrigen Koordinatensysteme mit dem ersten jB,1)',:,jB|,-, zur Deckung bringt. 

 Nun sind die Ecken jedes der (2 -f 2 + 2) - Flache die zweier einbeschriebener 

 rhombischer Sphenoide, d.h. die Ecken des 2.60-Ecks sind fünfmal 

 die Ecken von je 30 rhombischen Sphenoiden. Die angestellten 

 Betrachtungen lassen sich unter Anwendung des Polaritätsprinzips sofort 

 auf die 2. 60 Flächen des Dyakishexekontaeders übertragen. Diese 120 

 Flächen ordnen sich fünfmal als die 15.8 Flächen von 15 geraden Doppel- 

 pyramiden auf (im allgemeinen) rhombischer Basis, und die Tabelle 92) 

 gibt die Flächen der ersten Doppelpyramide jeder Anordnung, deren Haupt- 



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