Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 191 



Ergebnisse ab. a) Die erste G-ruppe und Klasse. Ist der Kern der 

 Gruppierung das Deltoidhexekontaeder, so fallen je zwei Flächen ver- 

 schiedener der 30 Sphenoide in eine Ebene, die Hülle bleibt im allgemeinen 

 ein 2. 60 -Eck. Ist der Kern eines der übrigen speziellen gleichÜächigen 

 Polyeder des Typus, so existieren keine Sphenoide. Ebenso wenig kann 

 als äussere Hülle eines Polyeders „erster Klasse" ein 20. 3 -Eck, 12. 5 -Eck 

 oder Triakontagon auftreten, während es Polyeder erster Klasse gibt, deren 

 Hülle das 60 -Eck ist. Dann fallen je zwei Ecken verschiedener Sphenoide 

 in einem Eckpunkte des Hüllpolyeders zusammen und bilden diskontinuier- 

 liche sechskantige Ecken, wie überdies auch zwei Sphenoidflächen in einer 

 Ebene als diskontinuierliche Sechsecke zweiter Art angesprochen werden 

 können, ß) Die zweite Gruppe und Klasse. . Hier können alle 

 speziellen Kerne bezw. Hüllen des Typus auftreten. Ist der Kern das 

 Deltoidhexekontaeder, so werden die Sphenoide identisch mit denen der 

 ersten Gruppe; ist die Hülle das (12 -I- 20 + 30) -flächige 60-Eck, so .sind die 

 Sphenoide zweiter Klasse identisch mit denen erster Klasse. Ist der Kern 

 das Triakisikosaeder, oder die Hülle das 20. 3- Eck, so fallen die Sphenoide 

 der zweiten Gruppe bezw. Klasse mit denen der dritten Gruppe bezw. 

 Klasse zusammen. Ist der Kern das Pentakisdodekaeder, bezw. die Hülle 

 das 12. 5 -Eck, so werden die Sphenoide der zweiten Gruppe bezw. Klasse 

 identisch mit solchen der vierten Gruppe und Klasse. Ferner ist zu be- 

 merken, dass die Sphenoide der zweiten bis fünften Gruppe identisch werden 

 für den Fall, dass das gleichflächige Kernpolyeder das Triakontaeder ist, 

 während für das Triakontagon als äussere Hülle die Sphenoide derselben 

 vier Klassen die gleichen sind. Im ersten Falle liegen vier Flächen ver- 

 schiedener Sphenoide in einer Ebene, ein diskontinuierliches 4. 3 -eck bildend, 

 die Hülle ist ein 2. 60 -Eck; für das polarreziproke Polyeder, dessen Kern 

 ein Dyakishexekontaeder ist, fallen vier Ecken verschiedener Sphenoide in 

 einer Ecke des umhüllenden Triakontagons zusammen und bilden eine 4.3- 

 kantige diskontinuierliche Ecke vierter Art. /) Die dritte Gruppe und 

 Klasse. Ist der Kern des Polyeders das Deltoidhexekontaeder, so werden 

 die Sphenoide zu parallelen Ebenen, also illusorisch; ebensowenig existieren 

 Polyeder dritter Klasse, deren Hülle ein 60-Eck ist. Ist der Kern der 

 Gruppierung ein Pentakisdodekaeder, so fallen die Sphenoide der dritten 



