192 Max Brückner, 



Gruppe mit denen der fünften zusammen, analoges gilt für die Klassen- 

 polyeder. 6, t) Die vierte und fünfte Gruppe und Klasse. Auch 

 die Sphenoide der vierten und fünften Gruppe bezw. Klasse sind stets vor- 

 handen, wenn der Kern oder die Hülle des Polyeders, das sie bilden, ein 

 spezielles Polyeder des Typus ist. Ist der Kern ein Deltoidhexekontaeder, 

 oder die Hülle ein 60- Eck, so werden die Sphenoide beider Gruppen bezw. 

 Klassen identisch; dasselbe gilt für das Triakisikosaeder und 20. 3 -Eck als 

 Kern bezw. Hülle. Die weiteren Kerne und Hüllen spezieller Art sind 

 aber bereits durch das vorhergehende erledigt. Wir wenden uns nun zu- 

 nächst zur näheren Betrachtung der fünf Klassen der rhombischen 

 Sphenoide, da deren Untersuchung sich einfacher gestaltet, als die der 

 Gruppen und beachten dabei besonders diejenigen 2. 60 -Ecke und speziellen 

 Polyeder, in denen an Stelle der rhombischen sekundäre quadratische 

 Sphenoide treten. 



2. Die fünf Klassen der rhombischen Sphenoide im (12 -|- 20 + 30)- 

 flächigen 2.(50 -Eck und die sekundären quadratischen Sphenoide. 

 Wir untersuchen für jede Gruppierung die beiden Sphenoide in dem recht- 

 winkligen Parallelepiped, dessen ..Hauptachse" die Achse 2?,, dessen dazu 

 senkrechte Querachsen B,^ und By^ sind [vergl. hierzu die Tabelle 93)]. 

 a) Sphenoide der ersten Klasse. Das erste Parallelepiped hat die 

 Ecken i, ii, 20, lO, lOl, lil, 120, iio, in der Reihenfolge der acht Oktanten. 

 Die Kanten des Parallelepipeds sind 2xt, 2y,, 2^,. Für A-, =0 oder Jcj = 0, 

 d.h. wenn die Hülle des Polyeders ein I2.ö-Eck bezw. 20.3-Eck ist, ent- 

 artet das Parallelepiped in ein Rechteck; für /.■2 = 0, d. h. wenn die Hülle 

 ein 60- Eck ist. fallen die Ecken mit solchen der Sphenoide der zweiten 

 Klasse zusammen. Das sind bereits auf anderem Wege gefundene Er- 

 gebnisse. Wir fragen nun, für welche Hüllpolyeder w^erden die rhombischen 

 Sphenoide erster Klasse zu quadratischen? Dann muss an Stelle des recht- 

 winkligen Parallelepipeds mit drei verschiedenen Kanten die quadratische 

 Säule treten. Das wäre im allgemeinen auf dreierlei Weise möglich, denn 

 jede der drei verschiedenen rechteckigen Grenzflächen könnte in ein Quadrat 

 übergehen; es müsste dann a;, = y, oder x, = ^, oder «/, = z^ sein. Ist rr, =y,, 

 d. h. die viereckigen Grenzflächen des Hüllpolyeders sind selbst Quadrate, 



