Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 19ö 



SO ergibt sich die Beziehung, die dann zwischen s und t bestehen niuss, 



f o C S ^ tt' 



aus —. - = (1—6) cot 2 ff, d. h. es ist: 



sin (jp cos (p 



96) t= (cot y. — s tan (p) cos2 (p. 



Deuten wir, wie früher, s und t als rechtwinklige Koordinaten, — 

 vergl. für das Folgende stets Fig. 6 Taf. 12 — , so stellt 96) die Gleichung 

 einer Geraden dar, der Geraden ii der Figur, deren Lage wir erkennen, 

 indem wir ihre Schnittpunkte mit den Geraden C'i(s=i: 12.5-Eck), (7,(^ = 5 

 cos"''??; 20.3-Eck) bezw. C^ (< = [4s — cot^y] cosV/); 60-Eck) bestimmen; ein Ver- 

 fahren, das auch weiterhin immer angewandt wird. Wir finden: die Gerade ij 



geht durch die Punkte s = i, t=^cos-(f (Triakontagon) und s = — i-^-, 



Ad 



^^ 3(41/5 + 5) ^ d. i. die A. V. des (i2 + 20 + 30)-flächigen 60-Ecks. Da die 

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Gleichsetzungen a;, = z^, «/, = z^ auf Gerade führen, die das Gebiet der kon- 

 vexen 2.60-Ecke meiden, so gilt: Es gibt nur eine einfach unendliche 

 Reihe von 2.60-Kcken, für welche die einbeschriebenen 30 

 Sphenoide der ersten Klasse quadratisch werden. Den Grenzfall 

 dieser Reihe bildet die A. V. des 60-Ecks, für den nach obigem überdies 

 die Gruppierung zugleich zur zweiten Klasse gehört; die andere Grenze, 

 das Triakontagon, ist ersichtlich auszuschliessen. 



ß) Sphenoide der zweiten Klasse. Die Ecken des ersten 

 rechtwinkligen Parallelepipeds mit der Hauptachse Bi und den Querachsen 

 £,3 und 5,5 sind nach den Oktanten geordnet: 2, 21, 30, 9, 91, 112, 119, 100. 

 Die Kanten dieses Parallelepipeds sind 2aj, 2y2, '^z-i. Untersuchen wir zu- 

 nächst wieder die speziellen Hüllpolyeder. Wird i, = o, d. h. das 2. 60-Eck 

 zum 12. 5 -Eck, so fällt die P^cke 2) mit 3) zusammen, d.h. die Sphenoide 

 werden identisch mit solchen der vierten Klasse. Für L, = o wird die 

 Ecke 2) = 1), d. h. für das 60-Eck als Hülle fallen die Sphenoide der zweiten 

 Klasse mit solchen der ersten zusammen (s. oben). Ist endlich h^ = o, so 

 wird die Ecke 2) = 12), d.h. für das 20. 3 -Eck als Hülle sind die Sphenoide 

 der zweiten und dritten Klasse identisch. Fragen wir wiederum nach den 

 quadratischen Sphenoiden, so zeigt die Untersuchung der drei zunächst 

 verfügbaren Gleichungen, dass nur x-i = y-i auf eine solche zwischen s und t führt, 



Nova Act» LXXXVI. Nr. 1. 



