Die gleicheckig-gleicliflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 195 



für die zweite Grenze wird es illusorisch, denn es artet in ein System 

 zusammenfallender Ebenen aus. 



6) Sphenoide der vierten Klasse. Die Ecken des Parallel- 

 epipeds sind: 3, 31, 40, 8, 81, 113, lis, 90; die Kanten sind: 2^4, 2tji, 2^4. Der 

 Fall ^1=0, wofür Ecke 3) ei 2) wird, ist schon unter ß) erledigt. Für 

 A-2 = 0, d.h. für das 60-Eck tritt an Stelle des allgemeinen Parallelepipeds 

 das, dessen Ecken (nach Note VI) 0, 28, 26, 2, 34, 56, 59, 36 sind. Das sind 

 aucli die Ecken eines Parallelepipeds mit Sphenoiden fünfter Klasse, wie 

 nachher gezeigt wird, nur tritt bei diesen Sphenoiden eine Vertauschung 

 der Hauptachse mit einer der Querachsen ein. Für /13 = 0, 3) ~ 13), d. h. das 

 20.3-Eck, fällt die Gruppierung der vierten Klasse direkt mit einer der 

 fünften Klasse zusammen. Für Bestimmung der quadratischen Sphenoide 

 gibt die Bedingung y, = ^4 nichts brauchbares. Soll xt = ij, sein, so gilt 

 die Gleichung zwischen s und t: 



99) ^ = (2 S 1/5 — cot y) sin 2 y,. 



_ 41/5—5 



Das ist eine Gerade L, durch den Punkt s = 1, t = =y^ — -, d. h. 



5 



dasjenige 12. 5 -Eck, durch welches die Gerade L.> ging, wie denn in der 

 Tat für das 12. 5 -Eck die Sphenoide vierter Klasse mit solchen zweiter 



zusammenfallen. Die Gerade Lt geht ferner durch den Punkt s = -cof^fp^^-^^, 



O O 



t = - cof^fp.cos^^ ^ '• . , d.h. durch den Dodekaederpunkt. — Die Be- 



o ±0 



dingung x^ = z^ gibt die Gleichung der Geraden: 



^,,,, , cos^mcotSo) 2s 003^01(1 — tanm) 



\j'o \/5 



Das ist eine Gerade durch den Dodekaederpuukt, die aber im übrigen 

 ausserhalb des Gebietes der konvexen 2.60-Ecke verläuft. Mit dem vorigen 

 vereint haben wir das Resultat: Es gibt eine einfach unendliche 

 Reihe von 2.60-Ecken, für welche die Sphenoide vierter Klasse 

 quadratisch sind, deren ein Grenzpolyeder eine besondere 

 Varietät des 12.5-Ecks, deren anderes Grenzpolyeder das Dode- 

 kaeder ist; im letzteren Falle werden die quadratischen 

 Sphenoide zu Tetraedern. Denn hier ist 2:4 = 3/4 = 5-4, d. h. das 



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