196 Max Brückner, 



Parallelepiped ein reguläres Hexaeder. Die Sphennide sind die bekannten 

 zehn Tetraeder, die sich den fünf Hexaedern im Dodekaeder einschreiben 

 lassen (vergl. den Anhang dieses §). 



t) Sphenoide der fünften Klasse. Das charakteristische erste 

 Parallelepiped hat die Ecken: 13, 32, 39, 18, 82, 103, 108, 89; die Kanten sind 

 2.^5, 2^5, 2Zi. Für A-, =0, 13)— 12) ist y) zu vergleichen. Für /.■., = o, d. h. 

 das 60-Eck, werden die allgemeinen F]cken zu 15, 29, 25, lO, 33, 46, 51, 37. 

 Bestimmt man aber die Ecken des charakteristischen Parallelepipeds für 

 die Sphenoide vierter Klasse für dasjenige Parallelepiped, dessen Haupt- 

 achse -Bi3 ist, so ergibt sich 15, 33, 46, 29, 10, 37, 51, 25. Da dies die obigen 

 Ecken sind, so sind für das 60 -Eck die Sphenoide der vierten und fünften 

 Klasse identisch. Der Fall 13) ^ 3) ist unter d) erledigt. Endlich bestimmen 

 wir auch hier die quadratischen Sphenoide. Die Bedingung .r-^ = y-^ gibt 

 nichts brauchbares, x-^ = z-^ ergibt die Gerade: 



^ ^ (2g — l)cot''y.co8Ü y 



^ " 1/5 ■ 



Diese Gerade L-, der Figur geht durch s = i, t = ^^^'^, d.h. durch 



5 

 das besondere 12. 5 -Eck, für welches die Sphenoide dritter Klasse quadratisch 



sind, und durch den Dodekaederpunkt. Da, y„ = z-^ eine Gerade ist, die 

 ebenfalls durch den Dodekaederpunkt gehend, im übrigen ausserhalb des 

 Gebietes der konvexen 2 . 60 - Ecke verläuft, so folgt: Es gibt eine einfach 

 unendliche Reihe von 2.60-Ecken, für welche die Sphenoide 

 fünfter Klasse quadratisch sind, deren ein Grenzpolyeder ein 

 besonderes 12.5-E;ck, deren anderes Grenzpolyeder das Dode- 

 kaeder ist. Im letzteren Falle ergeben sich wieder die schon erwähnten 

 zehn Tetraeder im Dodekaeder. — Ist die Hülle der Sphenoidgruppierungen 

 zweiter bis fünfter Klasse das Triakontagon , so sind die 30 Sphenoide 

 rhombische, da keine der Geraden L,, L^, L^, L^ durch den Punkt s = l, 

 t=:cos'^g> geht.^) 



3. Die fünf Gruppen der rhombischen Sphenoide und die Be- 

 stimmung ihres Klassencharakters. Um die diskontinuierlichen aus den 



') Den Schnittpunkten der Geraden L, ist keine besondere Bedeutung beizulegen. 



