Die gleicheckig-gleicLflächigen, diskontinuierlichen und nicLtkonvexen Polyeder. ^Ul 



Um den Gültigkeitsbereich dieser Formeln zu erkennen, beachte man, 

 dass eine Sphenoidgruppierung mit Ecken dritter Klasse, deren Normalecke 

 die Ecke 34) des Hüllpolyeders ist, in eine solche mit Ecken fünfter Klasse 

 Va- durch den Grenzfall des (12 + 20) -flächigen 12. 5 -Ecks als Hüllpolyeder 

 übergeht, in eine solche mit Ecken zweiter Klasse IIa; aber durch den 

 Grenzfall des (12 + 20) -flächigen 20. 3 -Ecks als Hüllpolyeder. Für den ersten 

 der beiden Grenzfälle muss s = i sein , während für den zweiten zwischen 



s und t die Relation - =s besteht. Nun ergibt sich für s = l aus der 



cos - fjp ^ 



ersten der Gleichungen 108) zwischen den «,, />|, c, die Beziehung 



rti C| tan- f/i + «1 &, — 6, C| tan (jp ^ 0, 



oder mit Einführung der Werte aus 103) nach einiger elementarer Rechnung: 



1^^) '^~1— 2ötan2(p' 



als Gleichung zwischen den Parametern a und t derjenigen Kernpolyeder, 

 für welche die Hülle der Sphenoidgruppierung ein (12 + 20) -flächiges 12. 5 -Eck 

 wird. In der Ebene der n, r stellt 109) die Gleichung einer Hyperbel C4 

 (vergl. Fig. 4, Taf. 11) dar, die durch den Punkt T, 0=1, * = l, d. h. 

 des Triakontaeders und durch den Punkt A, a = -^-- — , t — 



cos'-g) 2 3 



der A. V. des Deltoidhexekontaeders entsprechend, geht.') 



Für — 7— = s ergibt sich aus 108) : «i &i + l, Ci tan cp — a, c, cot cp = 0, 



oder nach Einführung der Werte für die Produkte der a,, hi, c, : 



ö2 — 2otan2gr, 



110) 



& = 



2ö — 1 — 2tan29)' 



als Relation zwischen den und r derjenigen Kernpolyeder, für die die 

 Hülle der Sphenoidgruppicrungen ein (12 + 20) -flächiges 20. 3 -Eck ist. Der 

 Gleichung 110) wird genügt durch = 1, t = ^ :• "l- ^'- ^'^*^ durch sie 



1) Zur Auffindung des Verlaufes dieser und der weiterhin zu diskutierenden Kurven 

 hat man ihre Schnittpunkte mit den beiden Geraden C, und C-i und der Hyperbel C^ zu be- 

 stimmen. Es sind im folgenden von vornherein nur die als brauchbar befundenen Schnitt- 

 punkte angeführt; auch sind in den Figuren der Einfachheit wegen die Kurventeile wieder 

 meist als Gerade gezeichnet. 



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