204 Max Brückner, 



^YiI• erschliessen nun von dem Gebiete m.r aus über die beiden 



Grenzkurven weitergehend, die übrigen Klassen der Sphenoide der ersten 



Gruppe. Für die jenseits der Kurve C4 liegenden Dyakishexekontaeder als 



Kerne der Sphenoidgruppierungen sind die Ecken des Hüllpolyeders von 



der fünften Klasse, und zwar ist die Normalecke die Ecke 24), für welche 



die Proportion z-^ -. a-j : 7/5 = ?,, c, : «, c, : a, &, gilt. Danach ist für das (12 + 20 + 30)- 



flächige 2. 60 -Eck, das die Hülle der Sphenoidgruppierung bildet, gemäss 



den Formeln 89): 



«1 Ci cot 9) + a, 6| + i] C| cot' r/ 



j ~~ 2 (ai 6| + 61 C] -f-a,C|) ' 



111) 



a, 6, -f- Ol c, + a, c, 



Diese Formeln gelten für das Gebiet von der Kurve C4 aus so weit, 

 bis die Ecke 24) mit der P'.cke 14) zum Zusammenfallen kommt, was für 

 das (12 + 20 + 30) -flächige 60 -Eck geschieht, wonach dann die Sphenoid- 

 gruppierungen der Klasse Ya- in solche der Klasse lYi/ übergehen. Die 



Bedingung hierfür findet man aus - - =4s — cof2f/, worin s und t die 



cos-ff ' 



Werte 111) sind, nämlich 0, c, — J|C, cotr/ +0,^1 tanr/ = 0, oder nach Einführung 

 der Werte für «,&, u. s. w.: 



112) {^^2o — o\ 



Wir haben in 112) die Gleichung einer Parabel Q (Fig. 4 Taf 11) 

 vor uns, die durch den Triakontaederpunkt T(ö- = i, = 1) geht. Für 

 ihren Schnittpunkt C mit der Deltoidhexekontaederkurve C3 ergibt sich aus 



ö2_2ö(4 — l 5) + '— "^^^^ = der Wert der Koordinate zu: 

 112') ö = 4 — 15 — - 1/42 — 181/5=1,10234... 



Damit sind die Sphenoide der ersten Gruppe mit Ecken fünfter Klasse 

 \x auf das Gebiet zwischen den Kurven C4 und C,-, und wiederum einen 

 Teil von C3 beschränkt, und es ergeben sich somit auch solche Gruppierungen, 

 deren innere Kerne bestimmte Deltoidhexekontaeder sind. Bestimmt man 

 für dieses Gebiet von den Formeln 111) aus die Grenzkurve gegen die 

 Polyeder dritter Klasse, so erhält man natürlich wieder die Gleichung von C4. 



