Die gleicheckig-gleichflUchigen, diakontinuierlichen und nichtkonvexen Polj^eder. 207 



geraden C^, diese ausgeschlossen. Denn für jedes Triakisikosaeder ist b^ = o, 

 also ergeben die allgemeinen Formeln 117) dann s = i, t = cosV/! unabhängig 

 von ö und t. Die Hülle des diskontinuierlichen Polyeders wäre somit das 

 Triakontagon, in dem aber die Sphenoide erster Klasse illusorisch sind. 



Wir kehren nun zurück zu dem Ausgangsgebiete der Polyeder dritter 

 Klasse liia;, für die die Normalecke die Ecke 34) des (12 + 20 + 30) -flächigen 

 2. 60 -Ecks war. Überschreitet man die Kurve Cr,, so tritt an Stelle der 

 Normalecke 34) die Ecke 33) und die diskontinuierlichen Polyeder gehören 

 der Klasse Ux an. Es ist dann: z-i-.Xt-.iji = iiCj raic, :ai&i und damit 



118) 



Ol C| + a, &i tan ff< + 6, c, cot y 



j 2 (aiC| tan^f^ + &iCi) ' 



ttjCi tan^r/ + 0|C| 



Für — r— =s ergibt sich selbstverständlich wieder die Gleichuiiff 110) 



der Kurve Cj. Die Gültigkeit der Formeln 118) erstreckt sich über das 

 Gebiet dieser Sphenoidgrup23ierungen zweiter Klasse bis zu der Grenz- 

 kurve, für die diese Gruppierungen durch das 60 -Eck als Hüllpolyeder in 

 solche der ersten Klasse ix mit der Normalecke 43) übergehen. Die Gleichung 

 dieser Grenzparabel C« ist a,6| tanry- + aiC| — &,Ci tanV/ = o, oder 



119) ö' + ö-tanSy— 20tanf/ = 0. 



Die erste Form zeigt, dass die Kurve wiederum durch den Tria- 

 kontaederpunkt T (a, = 6i =: o) geht. Für den Schnittpunkt G mit der Deltoid- 



hexekoutaederkurve G3 ergibt sich aus ö^ — (5 — 1/5) + ^-^^ ^^ = der 

 eine Wert für 0: 



°^~2 "" l/'2(9— 4|/5) = 1,04812. 



Es nehmen für diese Polyeder zweiter Klasse überdies die Werte 

 118) bei Einführung der und d- hier die einfache Form an: 



_ {0- — d-)(i0t<p (ö — d-)(ö — tan2f/)cotr/^ ^ 



* ~ 2[^(ö— l)tanf/ +ö — ö-]' ~ » (ö— 1) tan r/ + ^—0- '^'^^'^f- 



Die Polyeder mit der Normalecke 43) der Klasse ix des Hüllpolyeders 

 lassen nun nur den einen Ü^bergang durch das 60 -Eck in Polyeder der 



