212 Mas Brückner, 



Die Diskussion dieser Gleichung zeigt, dass die durch sie dargestellte 

 Kurve Cjo (vergl. Fig. 5 Taf. 1 1) die Pentakisdodekaedergerade C, in einem 

 Punkte H, die Deltoidhexekontaederkurve C^ in einem Punkte C schneidet, 

 der mit dem Punkte C derselben Kurve C, für die Sphenoide der ersten 

 Gruppe identisch ist. Setzen wir in Gleichung 126) = 1, so erhalten 

 wir für die Koordinate r des Punktes H die Gleichung: 



^2tan2f/ +2ö-(2 — tanr/) — 3 = 



oder 



&-+2» cot (f 15 — 3 cot' f/ = 0, 



woraus & = cot r/ (2 \/2—['^) wnd damit r = ^^^ = 2 l/io — 5 = 1.32455 folgt. 

 Das Gebiet der Sphenoide zweiter Gruppe vierter Klasse wii-d also von 

 fünf Kurvenstücken — einem Teile von C,, C-y und C3 und den Kurven C,, 

 und C|2 — begrenzt. Wir untersuchen dasjenige Polyeder, für welches der 

 Kern das Triakontaeder ist, das diesem Gebiete angehört. Es ist für das 



Triakontaeder a,bi = — ~, &2C.1 == -~^, a,ci = ^r^, also ergeben die 



4 - 4 - - 4 ' <=> 



Gleichungen 125): 



2 tan'fy + cot</- 4 — cotfjr Sl/ö+l , 



* ~ 2(taiir/+ tan2f/+tan»f/) ~ 4 tan r/ ~ 8 ^ O,263o, 



tan^qr + cotff „ 3 — cotrr „ 1/5+1 



t = ~ , / ; , , , cos 2 f/ = -— '- cos 2 ff = ^—f- = 0,80902. 



tanr/ + tan-r/ -f- tan-*f/ 2tan<5r 4 



Für die Kanten des Hüllpolyeders der Gruppierung findet man hiermit 



die Proportion: Ä, : Ä-., : Aj = 1 : 1 : ^i^. Das Modell dieses Polyeders, dessen 



Hülle also ein (12 + 30 + 30) -flächiges 2. 60- Eck mit regulären Zehnecken 

 ist, zeigt Fig. 1 Taf. 25, die in der vollständigen Figur des Triakontaeders 

 enthaltene Grenzfläche Fig. 6 Taf. 15. Die vier in eine Ebene des Tria- 

 kontaeders fallenden Dreiecke TiT'i T"„ TiT\T% TsT'sT"^ und TiT\T'\, die 

 ein diskontinuierliches Zwölfeck bilden, sind die Flächen je eines Sphenoids 

 der zweiten bis fünften Gruppe, für welche also dasselbe Polyeder, wie 

 auch die weitere Untersuchung zeigt, stets zur Klasse Vfy gehört. Das 

 reziproke Polyeder wird sich also in der vierten Gruppe der Sphenoide 

 finden, und muss gleichzeitig vier Klassen zugehören, wobei seine Hülle 

 das Triakontagon ist. — Über die Grenzkurve C',) hinweg gelangt man in 



