216 Max Brückner, 



existiert keine weitere Grenzkurve des Gebietes wie die schon angegebene 

 C15. Es hat sich also das Resultat ergeben, dass die Klassen der Sphenoid- 

 gruppierungen der ersten und zweiten Gruppe völlig die gleichen sind; die 

 Grenzkurven diiferieren aber in ihrem Verlaufe völlig und die Polyeder 

 sind, mit Ausnahme derer, für welche der Kern ein Deltoidhexekontaeder 

 ist, natürlich von einander verschieden. Weiterhin wird sich ergeben, dass 

 die Grenzpunkte N und auf der Triakisikosaedergeraden C'j in der dritten 

 Gruppe der Sphenoide, die Grenzpunkte H, K, L, M auf der Pentakisdode- 

 kaedergeraden C, in der vierten Gruppe wiederkehren, da die Sphenoide 

 dieser bezw. Gruppen für die angegebenen speziellen Kerne mit solchen der 

 zweiten Gruppe identisch sind. 



6. Die dritte Gruppe der rhombischen Sphenoide im Dyakis- 

 hexekontaedertypus. Die Sphenoidkombinationen der dritten Gruppe sind 

 mit Rücksicht auf ihren Klassencharakter von allen fünf Gruppen die ein- 

 fachsten, denn hier ergibt sich nicht wie bei den beiden vorigen Gruppen 

 die Möglichkeit des Vorkommens aller fünf Klassen, sondern nur der ersten, 

 zweiten und vierten Klasse. Von der zweiten Gruppe her ist bekannt, dass 

 auch für die dritte Gruppe Polyeder dieser drei Klassen existieren müssen, 

 da die Sphenoide beider Gruppen für die Triakisikosaeder als Kerne identisch 

 sind, und es wird nun gezeigt, dass die drei genannten auch die einzigen 

 Klassen sind, die für die Sphenoide der dritten Gruppe möglich sind. AVir 

 beginnen mit der Untersuchung der Polyeder zweiter Klasse l\y, deren 

 Normalecke die Ecke 15) des (12 + 20 + 30) -flächigen 2. 60 -Ecks ist. Für 

 die Koordinaten dieser Ecke 15) der Hüllpolyeder gilt jetzt y-.-Zi-.x-i^^h'iCi 

 : a^c^ : a^h-i und es sind die AVerte der Parameter s und t: 



134) 



i ^ «36;. +&3 C 3 tany +020 ^, coty 

 ~~ 2(a3&3tanV/ +a3C3) ' 

 ^_ Ms tan y + «3^3 ^^3, 

 a3 03tan2r/) + 03C3 



Der Gültigkeitsbereich dieser Formeln erstreckt sich einerseits bis 

 zu der Grenzkurve C'ie (vergl. Fig. 6 Taf. 11) solcher 0, t der Kernpolyeder, 

 für welche die zugehörigen Hüllen der Sphenoidgriippierungen (12 + 20 + 30)- 

 flächige 60 -Ecke sind und die Normalecke 15) mit der Normalecke 25) 



