Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder, -i-sl 



kommen: a) mit der Ecke 14) für das (12 + 20 + 30)-flächige 60-Eck; die 

 Spheuoidgruppierung-en mit solcher Hülle bilden den Übergang von den 

 Sphenoiden der Klasse \x zu denen der Klasse IV«/; b) mit der Ecke 23) 

 für das (i2 + 20)-flächige 20.3-Eck; die Splienoide der Klasse Va; gehen in 

 solche der Klasse iVa; über; c) mit der Ecke 34) für das (12 + 20) -flächige 

 12. 5 -Eck, wobei die Sphenoidgruppierungen der Klasse Vx in solche der 

 Klasse nia; übergehen. Alle diese drei Fälle sind hier vorhanden. Die 

 Grenze gegen die Sphenoide der Klasse lYy ist gegeben durch die Kurve, 



cos 2 g) 



— 64 C4 cot <3D = 0, oder 



deren Gleichung sich aus — r— = 4s — cot^no ergibt, nämlich «464 tan(jf) + a4C4 



140) *"' 'cot^y — ÖÖ-2 cot3r/D + ^^tang)+ö-2cot2^ + ö^tan-^ — ^0- = 0. 



Da für das Ikosaeder 04 = 64 = C4 ist und die Relation tan^) + 1 = cot 9 

 gilt (vergl. die Anm. in § 1 Nr. 1 dieses Kap.), so zeigt die erste Form 

 der Gleichung, dass die durch 140) dargestellte Kurve Ci, (vergl. Fig. 4 

 Taf. 12) durch den Ikosaederpunkt / geht. Für die r-koordinate des Schnitt- 

 punktes R der Kurve mit C, ergibt sich aus 140) für = 1 die Gleichung 

 0^2-1- 2 5- cot 9) 1/5 — 3 cot 2 f;) = 0, d.h. dieselbe Relation wie für den Punkt R in 

 der zweiten Gruppe, womit die Identität der beiden Punkte R erwiesen ist. 



Die Grenze des Gebietes der Sphenoidgruppierungen der Klasse Va; 



gegen die der Klasse iVa; ergibt sich in der Kurve — ^ =s oder «4^4 + &4C4 tangD 

 — a4C4Cotgn = 0, d.h.: 



fl2.9^2 (t2A qI 



14]^) ^^_^ cot'-y -I- (J&2 C0t9> ^ cot3r/ — 3.^2 _|_ ö6>- C0t2gn + - tan'-^ = 0. 



Die durch diese Gleichung dargestellte Kurve C19 (Fig. 4 Taf. 12) 

 geht, wie die erste Form der Gleichung zeigt, wieder durch den Ikosaeder- 

 punkt J. Die T-koordinate ihres Schnittpunktes L mit der Geraden C, ergibt 



4,9. 3 1/5 



sich aus der für = 1 aus 141) folgenden Gleichung ^'^ ^ '■-—^ = 0, 



' ° 17 — 51/5 17 — 51/5 



d. h. es ero-ibt sich derselbe Wert von r wie für den Punkt L in der 

 zweiten Gruppe. Doch erfüllen die Parameter 0, t der Sphenoide der 

 Klasse Va; nicht das gesamte Gebiet zwischen den Kurven C,« und CVi, wie 

 sich sofort zeigt, wenn wir die oben angegebene dritte Grenze der Polyeder 



