222 Max Brückner, 



der Klasse Vx gegen die der Klasse iiix bestimmen. Die Gleichung dieser 

 dritten Grenzkurve ergibt sich aus der ersten Gleichung 139) für s ^ l, 

 nämlich 04 64 + a^ c^ tan 2 g) — b^ c^ tan y = 0. oder 



ö2,^2 02,9. ßi 



1421 (4 + tang)) — öö-^coty. — + »"^ tau^ ^ + a d- {2 — tan cf) (3— tany>) = 0. 



' i 2 4 



Wir bestimmen die Schnittpunkte der durch diese Gleichung dar- 

 gestellte Kurve Cjo, die nicht durch den Ikosaederpunkt I läuft, mit der 

 Geraden C, und der Deltoidhexekontaederkurve Cj. Für 0^1 erhält man 



aus 142") die Gleichung &"•' — 4ö- '^ — =H ^^ — = = 0, woraus sich die 



13 — 51/5 13 — 5t'5 



T-koordinate des bei Diskussion der zweiten Gruppe der Sphenoide ge- 

 fundenen Punktes K ergibt. Für den Schnittpunkt E der Kurve fj,, mit 



der Kurve C-, ergibt sich durch Einsetzung von & = -^ in Gleichung 



142) für ö die Gleichung: 



ö2 — 2öcot^ + 7tang!) — 2 = oder 0- — o(\/ö + 1) +'^^^^P^ = 0, 



und daraus für der eine verwendbare Wert = ^^ — \/l—S 1/5 = 1,07783. 



Die zwischen den Punkten K auf C, und i? auf C3 verlaufende Kurve C20 

 muss nun die Kurve C,,j in einem Punkte T' schneiden, da die r-koordinate 

 von K grösser ist als die von L. Wir bestimmen die Koordinaten 0', r' 

 dieses Punktes T'. Für sie gelten gleichzeitig die Gleichungen der Kurven CVj 

 und C20 in ihrer ersten Form, deren Subtraktion die Relation 2C4 (&4tanr/) — a4) = 

 ergibt. Es ist also 04 = 64 tan 9), und beide Kurvengleichungen nehmen 

 damit die Form 64 tan 9) — Citan'^(p = o an, d.h. es ist weiter &4 = C4tan5D und 

 damit 04 = C4tan2gp. Die Einführung der Werte 04, 64, C4 in die letzten beiden. 

 Gleichungen ergibt zur Bestimmung von 0' und &■' das System: 



(2 + cot g>) — *' (cot rp + tan (p) + - tan gD == 0, 



cot y + >9-' tan 3 (jp ^~- tan g; = 0, 



aus dem man auf elementarem Wege für die Werte der Koordinaten erhält: 



ö' = — -^— - = — J =1,038.., ^' = --^--r = 4-,also t' = ^.^= 1,236. 



3tan9)-|-2 3l/5-|-l 2tan9)-|-l \/r,' l/ö-f-l 



