Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 22o 



Die Sphenoidgruppierung , deren Kerupolyeder die Parameter o' und 

 t' besitzt, hat nun offenbar zur Hülle das Triakontagon, da die Parameter 

 s, t dieser Hülle gleichzeitig einem 12. 5 -Eck und einem 20. 3 -Eck zugehören. 

 In der Tat sind die Werte 0', r' die reziproken von s und t des Hüll- 

 polyeders der der zweiten bis fünften Gruppe augehörenden Gruppierung 

 von Sphenoiden, deren Kern das Triakontaeder ist (vergl. Gruppe 2 in Nr. 5 

 dieses §). Das Modell dieses aus 30 rhombischen Sphenoiden bestehenden 

 neuen Polyeders der vierten Gruppe zeigt Fig. 5 Taf. 25. In jeder Ecke 

 des umhüllenden Triakontagons liegen vier Ecken verschiedener Sphenoide, 

 so dass die Ecken der Gruppierung als diskontinuierliche 4. 3 -kantige er- 

 scheinen. 



Es ist nun der Gültigkeitsbereich der Formeln 139) auf das Gebiet 

 beschränkt, das von der Kurve Cj, vom Ikosaederpunkte / bis zum Punkte 

 H auf Gl , weitere von C'i bis zum Punkte K, von Coo von K bis T' und 

 von C],, von T' bis zum Ausgangspunkte / begrenzt wird. Für den Punkt 



1 ergeben sich Werte s und t des Hüllpolyeders der Sphenoidgruppieruug, 

 die gleichzeitig einem 60 -Eck und einem 20- 3 -Eck zugehören, d. h. die 

 Parameter des Dodekaeders. In der Tat berechnet man aus den Fortaeln 139) 



j. -n n j 7 • J COt^ff) , cot 2 m . cos 2 m . 



m diesem Falle, da 04 = ^(4 = C4 wird: s = — — ^und i = ^-- -. An 



Stelle der 30 rhombischen Sphenoide der allgemeinen Hülle treten hier die 



bekannten zehn Tetraeder im Dodekaeder, auf die wir in Nr. 9 dieses § 



nochmals geführt werden. — Innerhalb des Gebietes der Sphenoide der 



vierten Grupjjc, die nach den Ecken zur Klasse Va; gehören, findet sich 



auch die Gruppierung, deren Kern die A. V. des Dyakishexekontaeders ist. 



Es ist dann a, = 3(l^±5), ^ 3(71/-5-ö) 3(15-^/5) ^^^^ ^^j^ ^^^^^.^^ 



■* 55 ' ^ 110 ■'110 



für s und t hingeschriebenen Gleichungen ergeben: s= '^ *■ = 0,944; 



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t = ^ + 1/^ ^ 0,7236. Für die Kanten des umhüllenden (12 + 20 + 30)-flächigen 



2 . 60 - Ecks berechnet man damit : /,•, : 1:^ : h = ^'""'"^ : ^~^^ : 1. 



' - ^ 2 2 



Das Modell dieser allgemeinen Gruppierung von 30 rhombischen 

 Sphenoiden zeigt als Beispiel für ein Polyeder mit Ecken fünfter Klasse 

 Fig. 6 Taf. 28. Die Grenzfläche ist in der vollständigen Figur der A. V. 



