Die g;leicheckig-gleichflachigen, diskontinnierlicLen und nichtkonvexen Pol.yeder. 229 



deren Kern ein Deltoidhexekontaeder dieses Teiles der C3 ist, die mit denen 

 der vierten Gruppe zusammenfallen, wie diese zeigen, zur Klasse TVx. 

 Gehen wir jetzt zunächst von diesen Sphenoiden der Klasse IVa; aus, deren 

 Normalecke die Ecke 23) ist, für welche: Zi--Xi:yi^=h--,C:^:a:,c--,:a-^b:^, so be- 

 stimmen wir für die Parameter s' und t' der Hüllpolyeder dieser Sphenoid- 

 gruppierungeu nun die Werte: 



, «5 Cj cot (p + a-, 65 + ^5 c.s cot^ (p 



■^gQs j^ ~ 2(0365 + 0565 + 6505) 



a505 + a5C5 + öäCä 



die von 149) verschieden sind. Wir untersuchen jetzt, für welche Werte 

 von ö und t bezw. &■ die Wertsysteme 149) und 150) übereinstimmen. Die 

 Gleichungen s = s' und t = t' lassen sich auf die Form bringen: 



Oj 65 tan ff — 65 c- cot 7- + a-, c-, = 0, 

 und 



0;-, f -, cot cf — i- c-, tan r/ — O5 6-, ^= 0. 



Ihr gleichzeitiges Bestehen zieht die Bedingung i-, tan y . (a- — c.,) = 

 nach sich, d. h. es muss 05 = 03 sein. Die Einführung der Werte und & 



\ .., . 0. 



hierin führt auf die Gleichung i9^f- — 1 jcot-9; + -(eotr/) + tan9}):=0, d. h. es ist 

 150') »= •'^^■ 



{2—a)cot-g) 



Dies ist die Gleichung einer Kurve Ce (vergl. Fig. 5 Taf. 12), die 

 durch den Ikosaederpunkt I geht, wie direkt aus «3 = C5 folgt. Die Koordinate 

 T ihres Schnittpunktes Q mit der Pentakisdodekaedergeraden C\ ergibt sich 



aus 150') für o- = 1, nämlich t = ^ = 5(l/5 — 2), wonach dieser Punkt 



cot^gjcos^g. 



Q mit dem gleichbenannten auf der Geraden Ci für die dritte Gruppe der 

 Sphenoide identisch ist. Es schneide die Kurve Ct die früher abgeleitete C22 

 im Punkte X Dann zerfällt das Gebiet der Sphenoidgruppierungen vierter 

 Klasse durch Cs zwischen 2 und I in zwei Teilgebiete auf ihren beiden 

 Ufern und die Polyeder der beiden Ufer gehören zwar sämtlich zur vierten 

 Klasse, doch ist die Normalecke das eine Mal die Ecke 14), das andere Mal 



