Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 231 



die polarreziproke Verwandtschaft sämtlicher Sphenoide i-ter Gruppe Ic-tev 

 Klasse übersichtlich darstellen, fragen wir nach den sekundären quadratischen 

 Sphenoiden, die wir jetzt für die einzelnen Gruppen aufsuchen. 



9. Die sekundären quadratischen Sphenoide der fünf Gruppen. 

 Da ein Sphenoid der ?'-ten Gruppe polarreziprok zu einem Sphenoide der 

 «■-ten Klasse ist, und polarreziproke Sphenoide gleichzeitig entweder rhombisch 

 oder quadratisch sein müssen, da die Flächen des einen die Tangential- 

 ebenen an die umbeschriebene Kugel des anderen in seinen Ecken sind, 

 so erhalten wir die Bedingung für die Parameter o, t einer Gruppierung 

 quadratischer Sphenoide der i-ten Gruppe, wenn wir in der Relation für 

 die Parameter s und t der Gruppierung quadratischer Sphenoide der /-ten 



Klasse s und t durch - und - ersetzen, a) die Relation zwischen o und t 



für die quadratischen Sphenoide der ersten Gruppe ergibt sich demnach aus 



Gleichung 96) in - = (cotf/ tan g;] cos- (p oder 



153) 



T = 



(ö cot 9P — tan 5c) cos - y 



Diese Gleichung 153) ist die einer Kurve Ca (vergl. Fig. 4 Taf. 11) 

 in dem Gebiete der konvexen Dyakishexekontaeder, die durch den Tria- 



kontaederpunkt T, für = 1, t = ^ und den Deltoidhexekontaederpunkt A 



für die A. V. des 60-flaches = -^^^=^, z = ^"^^—A geht. Die Kurve C« hat 



also mit der Kurve C^ die Punkte T und A gemeinsam, verläuft aber im 

 übrigen von ihr getrennt im Gebiete der Sphenoidgruppierungen dritter 

 Klasse Illx, wie man leicht nachweist, wenn man für beliebiges zwischen 



= 1 und g^ ^^ ^ die sich aus den Gleichungen von C4 und Ca ergebenden 



Werte von r vergleicht. Es sind also die sekundären quadratischen 

 Sphenoide der ersten Gruppe stets von der dritten Klasse, 

 woraus nach Gleichung 98) folgt, dass der Parameter t der Hüllpolyeder 



dieser Gruppierungen den konstanten Wert ?Ü-^ besitzt, Bestätigung findet 



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dieses Ergebnis an dem Beispiel für die A. Y. des Deltoidhexekontaeders 

 als Kern, das in Nr. 4 dieses § besprochen wurde. 



