Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 237 



Anhang. Die diskontinnierliclien gleicheckig - gleiclifläcliigen 

 Polyeder, deren Einzelkörper reguläre Polyeder erster oder höherer 

 Art sind. Wir stellen diese Polyeder, da sie schon verschiedentlich be- 

 handelt wurden, hier nur der Vollständigkeit wegen zusammen, sowie um 

 Gelegenheit zu finden, ihre z. T. bisher noch nicht veröffentlichten Abbildungen 

 nach dem Modell geben zu können. Die Kombinationen regulärer Polyeder 

 haben entweder als diskontinuierliche reguläre Körper höherer Art zu 

 gelten, oder nur als gleicheckig - gl ei chtlächige Polyeder. Im ersten Falle 

 ist die innerste Zelle sowohl wie die äussere Hülle selbst ein reguläres 

 Polyeder erster Art. Solcher Polyeder gibt es bekanntlich nur drei. 

 a) Die autopolare Kombination der beiden Tetraeder im Hexaeder, deren 

 Kern das reguläre Oktaeder ist (die sogenannte Stella octangula Keplers), 

 also dem Hexakisoktaedertypus angehörend, b) Die Kombination der zehn 

 Tetraeder im regulären Dodekaeder, also dem Dyakishexekontaedertypus 

 angehörend. Die innerste Zelle dieses oft erwähnten Polyeders ist das 

 Ikosaeder. Je zwei Flächen verschiedener Tetraeder fallen in einer Ebene 

 des Ikosaeders zusammen, ein diskontinuierliches Sechseck bildend; es sind 

 die beiden Dreiecke C^Cf^C^ und CfiC^^C^ in der vollständigen Figur des 

 Ikosaeders (vergl. Fig. 6 Taf. 8), die in gleichem Sinne zu umlaufen sind, 

 so dass der Koeffizient der inneren Zelle des Sechsecks 2 ist. In jeder 

 Ecke des umhüllenden Dodekaeders fallen zwei Ecken verschiedener Tetra- 

 eder zusammen und bilden eine sechskantige Ecke zweiter Art des Gesamt- 

 polyeders, das autopolar ist.') Je zwei der zehn Tetraeder sind einem der 

 fünf Hexaeder einbeschrieben, die zusammen für sich das weiter unten an- 

 zuführende gleicheckig - gleichflächige diskontinuierliche konvexe Polyeder 

 höherer Art bilden, c) Die Hälfte dieser zehn Tetraeder, die fünf rechten 

 bezw. fünf linken in den eben erwähnten fünf Hexaedern bilden zusammen 

 allein ein diskontinuierliches reguläres Polyeder, dessen Kern das Ikosaeder, 

 dessen Hülle das Dodekaeder ist.-) 



Von nur gleicheckig - gleichtiächigen Polyedern, die Kombinationen 

 regulärer Polyeder erster Art sind, sind die folgenden anzuführen. Die dem 

 Doppelpyramidentypus zugehörenden Systeme von Tetraedern, sowie die 



1) Vergl. V. u. V. Tafel IX, Fig. 3. 



2) Vergl. V. u. V. Tafel IX, Fig. 11. 



