238 Max Brückner, 



dem Hexakisoktaedertypus zuzuweisenden Kombinationen von sechs bezw. 

 zwölf Tetraedern sind bereits besprochen.') Im Dyakishexekontaedertypus 

 existieren zwei einander polar zugeordnete Kombinationen von fünf Hexaedern 

 bezw. fünf Oktaedern, die vielfach beschrieben sind. Der Kern des ersten 

 Polyeders^) ist das Triakontaeder; seine Flächen in dessen vollständiger 

 Figur (vergl. Fig. 3 Taf. 17) ist das Quadrat CidC^C^. Die Hülle ist das 

 Dodekaeder. In jeder seiner E<-ken fallen die Ecken zweier Hexaeder zu- 

 sammen, so dass die Ecken des Gesamtpolyeders sechskantig von der 

 zweiten Art sind. Die Hülle des polarreziproken aus fünf Oktaedern be- 

 stehenden Körpers') ist sonach das Triakontagon, sein Kern das Ikosaeder, 

 in dessen vollständiger Figur (vergl. Fig. 6 Taf. 8) die beiden Dreiecke 

 B^B^B^ und B-^Bx^jB^ mit gleichem Umlaufssinn die Flächen zweier ver- 

 schiedener Oktaeder sind, zusammen ein diskontinuierliches Sechseck zweiter 

 Art bildend. Konzentrische Anordnungen von Dodekaedern oder Ikosaedern, 

 die ein gleichÜächig- gleicheckiges Polyeder darstellten, existieren nicht. 

 Dagegen sind zwei einander polarreziproke Kombinationen von je fünf 

 Kepler -Poinsotschen zwölfeckigen Sternzwölfflachen bezw. fünf zwölfflächigen 

 Sternzwölfecken beschrieben worden.*) Der Kern beider Polyeder ist die 



besondere Varietät des Deltoidhexekontaeders, für welche = 4 sin ^ 9) = rA^Z^^ 



5 



^ ist. Die Hülle ist für jedes das zu diesem gleichflächigen 



cos 2 50 2 



Polyeder reziproke (12 -1-20 + 30) -flächige 60-Eck, für dessen Kantenverhältnis 

 sich aus der allgemein geltenden Formel 7^i : A-,, = (1— s) :(3s— cot29))tangD für 



^^5+]/5 ^gj. -^Ygj.^ j^^ . ;r.^ ^ j . l/ö^ii ergibt. Da Kern und Hülle reziprok 



2 



sind, haben wir hier para polare Polyeder vor uns. Diese bisher nicht 



abgebildeten Polyeder zeigt Taf. 26 in Fig. 10 und Fig. 4. Die zugehörigen 

 Figuren der Grenzflächen sind in Fig. 3 Taf. 11 und Fig. 4 Taf 13 ge- 

 zeichnet. Für einen bestimmten festen inneren Kern, d. h. einen bestimmten 



1) Vergl. Kap. II § 2 Nr. 7 und Kap. lU § 2. 

 • '^) Vergl. V. u. V. Taf. XII Fig. 24. 



3) Vergl. V. u. V. Taf. XII Fig. 6. 



■*) Vergl. hierüber die ausführliche Darstellung bei Hess, lieber zwei konzentrische 

 regelmässige Anordnungen von Kepler -Poinsotschen Polyedern. Marburger Berichte. 1878. 

 Nr. 2 (Febr. — Mai). 



