Die gleiclieckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 241 



A'On denen das eine mit dem anderen durch Dreliung um einen gewissen 

 Winkel « um die Hauptachse G zur Deckung kommt. Fassen wir die 

 120 Ecken als die einer bestimmten Klasse l auf, so sind sie Ecken von sechs 

 kronrandigen 2 . (2 . 5) - Ecken und es lassen sich somit dem 2.G0-Eck zwölf 

 solcher St'-^ (') einschreiben. Es existieren somit im 2.60-Eck sechs 

 verschiedene Gruppierungen von je zwölf St'-^{;), die wir nach der 

 charakteristischen Ecke als solche erster bis sechster Klasse bezeichnen. 

 Ist der soeben mit « bezeichnete Winkel 36", so sind die DeckHächen des 

 kronrandigen Polyeders reguläre Zehnecke, und die beiden ihm einbeschriebenen 

 St'ii;) bilden ein diskoiitinuierliclies S^io (.') nach der früheren Bezeichnung. 

 Auf diesen speziellen Fall kommen wir im nächsten § zurück. Wesentlicher 

 ist das Vorkommnis « = o. Dann fallen die beiden St';, {■) zusammen, und 

 die Gruppierung besteht nur noch aus sechs St':, (;)• Das geschieht bei den 

 verschiedenen Klassen für gewisse spezielle gleicheckige Polyeder des Typus. 

 Tritt nämlich an Stelle des 2. 60 -Ecks ein 12. 5 -Eck, 20.. 3 -Eck oder 60- Eck, ^) 

 so reduzieren sich die zwölf Stephanoide auf sechs, oder es werden die 

 zwölf Stephanoide einer Klasse identisch mit den zwölf Stephanoiden einer 

 anderen Klasse. Da die Gesaratzahl 120 der Flächen dabei erhalten bleibt, 

 die Zahl der Ecken aber sich auf die Hälfte 60 reduziert, so fallen dann 

 je zwei Ecken verschiedener Stephanoide in einer Ecke des Hüllpolyeders 

 zusammen und bilden daselbst eine diskontinuierliche achtkantige Ecke der 

 achten Art. Die genannten möglichen Gruppierungen von Stephanoiden 

 St':. (?) zerfallen also in Bezug auf die Ecken in drei Gattungen: a) zwölf 

 Stephanoide mit getrennten Ecken, d.h. 120 Flächen und Ecken; b) zwölf 

 Stephanoide mit zu zwei zusammenfallenden Ecken , d. h. 120 Flächen und 

 60 Ecken; c) sechs Stephanoide mit getrennten Ecken, d. h. 60 Flächen 

 und 60 Ecken. Die Art A des gesamten diskontinuierlichen von Stephanoiden 

 gebildeten nichtkonvexen Polyeders, dessen Oberfläche wie Inhalt Null ist, 

 da dies für die Teilpolyeder gilt, ist gleich der Artzahl des Einzelstephanoids 

 mal deren Anzahl, also für die Polyeder der Fälle a) und b) gleich 120, 

 für den Fall c) gleich 60, d. h. in jedem Falle gleich der Hälfte der Kanten 

 des Nullpolyeders. — Um nun die Einteilung dieser Stephanoidgruppierungen 



1) Vom Triakontagon und Dodekaeder werde einstweilen noch abgesehen. 



Nova Acta LXXXVI. Nr. 1. 31 



