Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 243 



zweiten Klasse in einer Ebene je auf fünf; an Stelle der (5 + 5) -ecke treten 

 reguläre gegen einander gedrehte Fünfecke und es ergibt sich in beiden 

 Fällen eine Gruppierung von sechs Stephanoiden St'-, Q. Die Ecken dritter 

 und vierter Klasse, sowie die fünfter und sechster Klasse fallen zusammen, 

 und man erhält Gruppierungen von je zwölf St'^ (;), bei denen je zwei Ecken 

 zweier verschiedener, d. h. zu verschiedenen G als Hauptachse gehörender 

 Stephanoide zusammenfallen, diskontinuierliche Ecken achter Art bildend. 

 Für jedes (12 + 20 + 30) -flächige 60-Eck reduzieren sich die Ecken der ersten 

 und sechsten Klasse je auf fünf, so dass man sechs St';, Q) erhält. Für je 

 zwei andere benachbarte Klassen fallen die Elcken zusammen und es er- 

 geben sich zwölf St' der geschilderten Art. Für ein (i2 + 20)-tlächiges 20.3- 

 Eck fallen die Ecken erster und zweiter sowie fünfter und sechster Klasse 

 zusammen, wodurch sich Gruppierungen von zwölf St'-^ (;) mit diskontinuier- 

 lichen Ecken ergeben. Die Ecken dritter und vierter Klasse bilden reguläre 

 Fünfecke und es ergeben sich in beiden Fällen Gruppierungen von je 

 sechs St'r, {;}. Tritt an Stelle des allgemeinsten Polyeders des T^-pus das 

 Triakontagon, so hat man die Zahlen der fünften Spalte. Das diskontinuier- 

 liche aus sechs St'r, Q) gebildete Polyeder hat jetzt nur noch 30 Ecken, in 

 derer jeder zwei Ecken zweier, verschiedenen Hauptachsen angehörenden, 

 Stephanoide zusammenfallen. Die Zahl der Grenzflächen beträgt noch 60. 

 Während für die vorhergehenden speziellen Polyeder s und t des Hüll- 

 polyeders variabel sind, und nur den bekannten Bedingungen genügen, ist 

 für das Triakontagon s und t konstant, d. h. es ergeben sich zwei bestimmte 

 feste Gruppierungen von sechs St',, Q). Die Ecken fünfter und sechster 

 Klasse fallen für das Triakontagon in eine Ebene, und die St' werden 

 illusorisch. Ist die Hülle des Polyeders das Dodekaeder, so ergeben die 

 drei ersten Klassen, wie die drei übrigen für sich je eine Gruppierung von 

 sechs Stephanoiden, die aber, wie später gezeigt wird, völlig in ein eigen- 

 tümliches Nullpolyeder zusammenfallen. 



2. Die Gruppen der Stephanoide St';, (;) nach den Flächen des 

 Dyakishexekontaeders. Die sechs Gruppierungen von je zwölf Stephanoiden, 

 die sich einem 2. 60-Eck einschreiben lassen, bilden jede ein diskontinuier- 

 liches nichtkonvexes gleicheckig -gleichflächiges Polyeder, dessen gleicheckige 



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