Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 249 



Vierecke als Fläche in der Zeichenebeue ergeben, also die Gruppierung 

 noch aus zwölf St'--, Q besteht. Zwei solche überschlagene Vierecke werden 

 sich im allgemeinen überlagern und ihre Flächen sich teilweise tilgen. 

 Dadurch ergeben sie wegen ihrer symmetrischen Lage ein aus positiven 

 und negativen kongruenten Zellen entgegengesetzten Vorzeichens bestehendes 

 diskontinuierliches nichtkonvexes Achteck, das als Grenzfläche des ent- 

 stehenden Poheders zu gelten hat. In diesem Sinne ist die gesamte Grup- 

 pierung von zwölf St'-, {■) als ein von 60 diskontinuierlichen Achtecken des 

 Inhalts Null begrenztes Nullpolyeder aufzufassen, für welches die Artzahl 

 der 60 Flächen a = 4, die Artzahl der 120 vierkantigen Ecken « = 4, die 

 Summe der überstumpfen Kantenwinkel .^Tx = 60 . 4 und die Zahl der Kanten 

 ^=240 ist, so dass 2^ = 60.4 + 120.4 — 60.4 — 240=240, also Ä un- 

 geändert ^= 120 ist.') 



Ist der Kern der Gruppierung das Triakontaeder, so sind nur zwei 

 aus je sechs St':, (p bestehende Polyeder möglich. Je zwei Flächen ver- 

 schiedener Stephanoide zweier Gruppen fallen in eine Ebene und bilden ein 

 diskontinuierliches Achteck, das bei einem der Polyeder aus zwei völlig 

 getrennten Vierecken besteht. Wir kommen auf dieses Polyeder, sowie 

 dasjenige, dessen Kern das Ikosaeder, dessen Hülle das Dodekaeder ist, und 

 dessen Fläche ein von drei überschlagenen Vierecken eigentümlicher Lage 

 gebildetes diskontinuierliches Sechseck ist, ausführlich zurück, und wenden 

 uns jetzt zur systematischen Betrachtung der Polyeder der sechs Gruppen. 

 Dabei legen wir der analytischen Untersuchung das gleiche Koordinaten- 

 system wie früher zu Grunde. Da aber die Hauptachse G der Stephanoide 

 in keine Koordinatenachse fällt, so werden die zu diskutierenden Werte und 

 Gleichungen hier eine kompliziertere Gestalt annehmen, wie bisher. 



3. Die erste Gruppe der Stephanoide St'r^ Q. Ehe wir zur Dis- 

 kussion der Stephanoide der ersten Gruppe übergehen können, müssen wir 

 die Stephanoide sechster Klasse, zu denen wir sie vorläufig normalerweise 

 rechneten, einer weiteren Betrachtung unterziehen. Es zerfallen nämlich die 



') Diese eigentümlichen Pol3'eder sind bei Modellierung der Einzeltypen besonders 

 berücksichtigt, zumal der Klassencharakter der Stephanoidgruppierungen an ihnen ebenso zu 

 erkennen ist, wie an den mühsamer darzustellenden allgemeinsten Polyedern. 



Nova Acta LXXXVI. Nr, 1. 32 



