250 Max Brückner, 



(12 + 20 + 30) -flächigen 2. 60 -Ecke in Bezug auf die Ecken sechster Klasse 

 in zwei verschiedene Ordnungen, je nachdem von den beiden Ebenen durch 

 die Ecken der beiden Reihen 



51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 

 64, 63, 62, 61, 70, 69, 68, 67, 66, 65, 



die eine oder die andere über oder unter dem Zentrum des gleicheckigen 

 Polyeders verläuft. Wir sprechen demgemäss auch von Ecken sechster 

 Klasse der ersten oder zweiten Ordnung, je nachdem die erste oder zweite 

 Reihe der genannten Ecken der über dem Zentrum gelegenen Ebene an- 

 gehört. Den Übergang von den 2. 60 -Ecken erster Ordnung zu denen 

 zweiter Ordnung bilden alle die 2. 60 -Ecke, für welche die 2.10 Ecken 

 sämtlich in einer Ebene durch das Zentrum des Polyeders senkrecht zur 

 Achse G liegen. Für solche 2. 60 -Ecke werden offenbar die Stephanoide 

 sechster Klasse illusorisch und die analvtische Bedinffun"- hierfür ist zu- 

 nächst abzuleiten. Wählen wir der leichteren Rechnung wegen an Stelle 

 der angeführten 2.10 Ecken sechster Klasse die Reihen, denen die Ecke i) 

 mit angehört, so ist die Bedingung für das Verschwinden der Stephanoide 

 sechster Klasse darin ausgesprochen, dass die vier Ecken i), 2), 20), 30) in 

 einer Ebene liegen. Da die Koordinaten dieser Ecken Xi, y,, Si-, x-i, y-i, z-r, 

 — a;,, — 2/i, ^i; — X2, — 2/j, s-i sind, so reduziert sich die bekannte Relation 

 für die Lage der vier Punkte in einer Ebene auf die Gleichung: {x^yi — X\y.i). 

 (zt—zi) = 0. Nun ist für das 2. 60 -Eck z, =}= z-2, also ist a;,^/, — a;,2/i = o. Drückt 

 man hierin die Koordinaten durch die Kanten des Polyeders aus, setzt also 



^i = j>yi= ^i ^2 = 2 ('""i + '"^2 cot 9»), 2/2 = "1—^ ^ so kommt h (/cj —Is cot 9p) = 0. 

 Da nicht allgemein Ä -2 = ist, denn nicht alle 60 -Ecke können der Be- 

 dingung genügen, so findet man Äi = /cj cot y. Nun ist ki:h = i^s) 



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■.{t — scos^cp). In Verbindung mit der vorigen Gleichung findet man hieraus: 

 i = cos 2 rp, s := beliebig. Es ist aber, wenn man wie früher s und t als 

 Koordinaten in der Ebene deutet (vergl. Fig. 7 Taf. 12), t — cos^^i die Gleichung 

 einer Geraden i„ durch den Triakontagonpunkt, die parallel der s-achse 

 verläuft und die 60- Ecks -gerade C, im Punkte P für ^ ^1 + cot^ g^s + l/B 



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= 0,9045 schneidet. Da nun ersichtlich für das Ikosaeder als gleicheckiges 



