Die g-leicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 25o 



Das ist aber die Gleichung einer Kurve, die, wie eine nähere Dis- 

 kussion zeigt, mit dem Gebiete der konvexen Dyakishexekontaeder nur 

 den Punkt D gemein hat, während sie im übrigen ausserhalb verläuft. 

 Geometrisch ist dies sofort einleuchtend, denn nur für das Dodekaeder als 

 Kern fallen die 2 . 10 Ebenen jedes der sechs Stephauoide der ersten Gruppe 

 in zwei parallele Ebenen, auf deren unendlichweiten Geraden die Schnitt- 

 punkte gewissermassen ein Unendlichgrosses 60 -Eck mit Ecken sechster 

 Klasse erster und zweiter Ordnung bilden. Es sind nun noch die Formeln 

 für s und t der HüUkiJrper der Stephanoide fünfter Klasse aufzustellen, die 

 dem Gebiete V der ersteu Gruppe zugehören. Die erste Ecke des Stephanoides 

 ist dann die Ecke 43) an Stelle von 53), wenn der Übergang durch das 

 12. 5 -Eck, d.h. über die Kurve -E. erfolgt. Nun sind die Koordinaten von 



43): Zu oci, yi, also ist jetzt a;, ^ — d, «/i ^= — d, z^ = — d und es wird: 



/e- 7fr W 



m 



?wtan2^-|- wi" 

 loo) . „ 



m tan m + m 



t = —. — r^ H cos^y. 



m tan^gi -)- m 



Für die Stephanoidgruppierungen , deren Kernpolyeder ein Triakis- 

 Ikosaeder der Teilstrecke AI (vergl. Fig. 2 Taf. 13) ist, wird wegen &■ =^ o: 



-/ ö2 3 — 2tang)\ 

 m =a^-l—jcotcp-\ ^1, 



m' = ö^l cot2gr)-(-ö(2 + cot9)) — - cotqpj, 



m" = ö- ( — ö tan 93 + tan ^ (p) 



und die Formeln 163) werden zu: 



2ö — 2tan2^ 



^gg f ~~ a(ö + 2) — 3tan^' 



L ö(ö — 2) cot 2 m + 5 cot g) — 4 



'< = — !^ — cos"«;. 



ö (0-1-2) — 3taa(p 



Geht nun ein 2. 60 -Eck sechster Klasse zweiter Ordnung durch Ver- 

 schwinden der 1-3 in ein 20. 3 -Eck über, so kommt die Ecke 63) zum Zu- 

 sammenfallen mit der Ecke 43), d. h. die Ecke der Stephanoide fünfter 

 Klasse ist auch nach diesem Grenzübergange die Ecke 43) des 2. 60 -Ecks, 



