Die gleicheckig-gleicLflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. ^o7 



und für das Verhältnis der Kanten erhält man damit Ä-, : fcj = i : ^-— ^^. Das 



in Fig. 2 Taf. 24 dargestellte Polyeder lässt deutlich die Einzelstephanoide 

 erkennen und zeigt die Ecken sechster Klasse zweiter Ordnung für die 

 besondere Hülle. Das Innere des Polyeders fällt völlig heraus und es 

 hängt der Innenraum längs der Achsen G und wiederum mit dem äusseren 

 Eaume zusammen, Avie auch die Zeichnung der Grenztiäche der Gruppierung 

 Fig. 5 Taf. 16 erkennen lässt. 



4. Polyeder. Ist der Kern der Stephanoidgruppierung das Ikosaeder, 

 so werden die Formeln 159): m =- 2ci («i — a^), m' = o, m" = — 2C|C4 und damit 



= s. Führt man nun in s = ; ^— r- — —- die Grössen 04 = 2 — 3 tan 9) 



cos ■''9) ' 04 — (fl| — a^)tan'^fp 



und a, = 3 tan 9) (2 — 3 tan f/) ein, so ergibt sich s=;-cot2^, d. h. die Hülle 



der Gruppierung ist das Dodekaeder. Die Grenzfläche dieses aus sechs 

 St'i Q zusammengesetzten Polyeders (Fig. 1 Taf. 24) zeigt Fig. 6 Taf. 8. 

 Es gehört sämtlichen sechs Gruppen an, und zwar sind die ersten Flächen 

 der Stephanoide für die sechs Gruppen die sechs Vierecke: 1. Gr. CßCgCaCio; 

 2. Gr. C,CA,C,y, 3. Gr. C,C,C,C,; 4. Gr. C^C^CeCio; 5. Gr. 0,0,0^0,; 6. Gr. C,C,C,Q,. 

 Sowohl die drei Flächen für die erste bis dritte Gruppe für sich, wie die 

 drei Flächen für die vierte bis sechste Gruppe überdecken einander mit 

 ihren positiven und negativen Zellen derart, dass das diskontinuierliche aus 

 den beiden Dreiecken QCsC'g und CgC^Cio bestehende Sechseck mit abwechselnd 

 positiven und negativen Zellen resultiert,') während die innere sechskantige 

 Zelle, die allein Achsenpunkte G trägt, Null ist. Der innere Kern samt 

 dem Ikosaeder fällt also aus dem Polyeder völlig heraus und es besteht, 

 wie auch die Figur der Grenzfläche lehrt, nur aus körperlichen Zellen mit 

 den Koeffizienten +1 und —1, die, abwechselnd, längs Geraden zusammen- 

 hängen. Für dieses autopolare Nullpolyeder haben die Grenzflächen 

 und die Ecken, die beide bei Vertauschung der Aussen- und Innenseite des 

 Polyeders in sich übergehen, die Art a = 3 und « = 6. Es wird also, da 

 jede Fläche drei übersturapfe Winkel hat, nach der Formel von Hess 

 2^ = 20.3-1-20.6 — 20.3 ^ = 60, d. h. J. = 30, und ebenso ist ^'= _,- = 30, 



') Das Polyeder entsteht also auch aus der Gruppierung von zehn Tetraedern (S. 237), 

 fünf positiven und fünf negativen. 



No»a Acta LXXXVI. Nr. 1. 33 



