262 Max Brückner, 



(21) a^x — b^y + c-iZ — d = 0, 

 (92) ajX + bsy — CiS — d = 0, 

 (94) CiX—a--,y — b^z~d = 0, 



sind, bestimmt man die Koordinaten x = ^d, ?/ = — d, z = —d. Darin ist: 



n n n 



169") m =b2(:c3 — bi) — bi(h + Ci) — a-Ac-i+C3), 



169"^) ni' = C3 («2 — C5) + ^5 («3 — «2) + Co (as — C5), 



169-=) m" = «3 {b, — aj) — c, (i.2 + 53) + a-i («5 + ^'s), 



oder, wenn man für die a, 6, c die Funktionen der 0, * einführt: 



170'') w' =— — + ö2i?cot2(jn_ö^2(2 + coty)) + 2Ö-2— öd-(2— tan^)) tang), 



170°) w" = --cot<f + o&^(3cot(p—l) — o^-&cot(p+od-{t&n<p + cot<p) — 2fh'^cot(p — —. 



i 2 



Ist nun der Schnittpunkt der genannten drei Ebenen die Ecke vierter 

 Klasse 33), so ist xi -. y-i -. z-, = m -. m' -. m" und für die Parameter der Hüllpolyeder 

 dieser Stephanoidgruppierungen vierter Klasse erhält man: 



m' + m" tan g) + m cot q> 



-i"-!. J 2 (?«' tan '^ (f -\- m) ' 



I, 7n"tAJiw + m 



\t = — - — ~- cos2 gp. 



m tan i gj + m 



Wird das Hüllpolyeder zum (12 + 20 + 30) -flächigen 60- Eck, so fällt 

 die Ecke vierter Klasse 33) mit der Ecke fünfter Klasse 43) zusammen und 



über die Kurve K^ (vergl. Fig. 4 Taf. 14), deren Gleichung — ^ = 4s— cot^g? 



ist, gehen die Stephanoidgruppierungen der vierten Klasse in solche der 

 fünften über. Als Gleichung dieser Grenzkurve K^ ergibt sich: 



— m tan2 g + m' + )?i" tan 5p = 0, 



oder mit Rücksicht auf die Formeln 170): 



172) — ö'^&2 + 2ö2^ + 2aü^- ta.n- (p — iir^tan^^— 2od-t3in*q> — ö^tangi = Q. 



Für das Ikosaeder ist w = —20,05, mi' = 2c, (0| — a^),m" = o und es 

 lehrt schon die erste Form der Gleichung, da 20105 tan2(p + 2c, (a, — a^) =: 



