Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 26o 



ist, dass die Kurve K^ dnrcli den Ikosaederpuukt I geht. Für = 1 ergibt 



Sicll aus 172): ^2 + 2^. 3tan|-l _ tany ^^^^ ^._^_=^^ 



' 5(1— 2tan9)) 5(1— 2tanr/.) 5(1/5—2) 



H — ^^ — = 0, und daraus ^ = — "ti — = cos'^gi, d. h. die Kurve Z4 geht 



10(1/5—2) 10 



durch den Dodekaederpunkt D. 



Es ist nun durch die Kurve K^ das Gebiet der konvexen Dyakis- 

 hexekontaeder in die zwei Teilgebiete IV und V (in Fig. 4 Taf. 14) zerlegt, 

 für deren erstes die Formeln 171) gelten. Für die Grenze Ci dieses Teil- 

 gebietes sind die Hüllen der Gruppierungen (12 +20) -flächige 20. 3 -Ecke 

 und die Zahl der Stephanoide St'-^ Q eines Polyeders reduziert sich auf sechs. 

 Denn fragt man nach den Gruppierungen vierter Klasse, deren Hülle ein 



20.3-Eck ist, so ergibt sich aus r— =s und den Gleichungen 171) die 



' ° cos '9) ^ 



Relation: »»"tan^i + mtanV/ — m' = 0, mit deren Hilfe der Wert von s durch 



Elimination von ?»' die einfachere Form s ^^^^^^^ _ - annimmt, wonach 



mtan^qp-f-wi 



t^^scoa^q) ist. Nun wird aber für = &, d. h. das Triakisikosaeder als 

 Kern m, m\ m" zu: 



Miy- = oMö^cotigo — ö(3-|-2cotr/.) + 2cot(jc)), 





J'^ (— |-' cot f/ -h ö (2 cot r/ — 1) — Ij , 



und durch einfache Rechnung erweist man die Richtigkeit der Identität: 



m",j tan ry -|- m,j tan^ry — m'^ eee: 0, 



d. h. wenn der Kern der Stephanoidgruppierung ein Triakisikosaeder ist, so 

 ist die Hülle ein (i2-F20)-flächiges 20.3-Eck. Führt man überdies die AVerte 

 mg, m'^, ni"g in den letzten Ausdruck für s ein, so nimmt dieser die Form an: 



ö^ (2 cot y -)- 1) — 6ö cot(p -f 4 -|- tanr/' 



ö2(tanr/. -1-5) — 2ö(cotr/- +5) + 3(2tanr/ -|- 1) 



Für ein Pentakisdodekaeder als Kern besitzen die Stephanoidgrup- 

 pierungen (12 -|- 20-1-30) -flächige 2. 60 -Ecke zu Hüllen und es vereinfachen 



