272 Max Brückner, 



179*) m ^ — 2öö^'tan9^ + 4^Hany — 2öö- tangp, 

 179'') m' = ^(3cotf/ +l) + öö-2(3cot(f + 2)— o2j^— 2&2cotf/ — ö.^tanr/ +-cotg), 



179"=) Jn" = öi?^2cot2g;+(j2^cot9) + 2d^2tan9- + öö-(l — 2tanf/^) (2— tany). 



Ist lum der Schnittpimkt der oben genannten Flächen die Ecke 

 zweiter Klasse 13), so ist x = x-^, y = y-^, z ^^ z-^, d. h. x-^ -. y-^ ■. z^ ^= m -. m' -. m" 

 und es ergibt sich für die Parameter s und t der Stephan oidgruppierung: 



m cot (f -\- m' -\- m" cot^ tp 



^ \^~ 2im + m' + m") ' 



I j »« cot ff + m" 

 m + m +m 



Nun gehen die Gruppierungen der St'-^ (;) zweiter Klasse in solche der 

 ersten über, wenn für das 20.3-Eck als Hülle die Ecke 18) mit der Ecke 3) zu- 

 sammenfällt, in solche der dritten Klasse, wenn für das 60 -Eck als Hülle 

 die Ecke 13) mit der Ecke 23) identisch wird. Es ergeben sich also für das 

 Gebiet der Gruppierungen zweiter Klasse hier zwei Grenzkurven Zg und K^ 



(vergl. Fig. 4 Taf. 15). Die Gleichung der ersten folgt aus — ^ = s, d. h. 

 wenn »icotr/ — m'— »»"tan^- = o ist, oder 



181) o'^&-^coV-(f —20&H2 + cotff) + 4d^'^cot(f — 2a»t!in(fj — o'^ta.n-^(f) = 0. 



Die Gleichung der zweiten Kurve K-; erhält man für — ^^4s — cot^y, 

 nämlich: w + m'tany — m"cot(fi = o, oder 



182) — ö2Ö--cot2y-H2ö.92(2 + cotf/)— 2ö2^cot9: — 4ö-2tan2y — 2<lö-tany.-|-ö2cotg) = 0. 



Nun ist für das Ikosaeder m = — 2a, 04, vi' = m" = 2a^ia^ — c,), wonach 

 die linken Seiten der Gleichungen der beiden Kurven in der ersten Form 

 zu — 2aiCot(f,{at+ai — q) und — 2 «4(01 -1-04 — c,) werden. Es ist aber für 

 das Ikosaeder a, -f- 04 — c, = 0, d. h. die beiden Kurven K^ und K^ gehen 

 durch den Ikosaederpunkt I. Wir suchen nun den Schnittpunkt B der 

 Kurve Kr, mit der Geraden = 1. Dann ergibt sich für » die Gleichung 



1/ ^i/sT^^^ 



3 »2 _ 2 ^ — tan f/ = und daraus die eine brauchbare Wurzel d-=Ui+y -L^ — -\ 



