Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 277 



Das Gebiet dieser Stephanoidgruppierungen liegt also auf dem dem 

 Dodekaederpunkt D zugewandten Ufer der Geraden K^. Um seine weitere 

 Begrenzung zu finden, fragen wir nach den Polyedern, deren Hülle ein 

 20. 3 -Eck ist, die also nach den Ecken den Übergang von Polyedern der 



ersten zur zweiten Klasse bilden. Dann muss — s— = s sein. Dies führt auf 



cos 2^0 



die Bedingung >»' — w cotg) + «»"tany = oder 



188) — ö2ö-2cot2y + 2öt9-2cot9) — 45-nan9) + 2öJ?-tan9) + önanSgD = 0. 



Wir untersuchen nun den Lauf dieser Kurve Z^ (vergl. Fig. 2 Taf. 17). 

 Ihr Schnittpunkt mit der Geraden = 1 hat die r-koordinate, die aus 



<^'-\^-^j = folgt. Es ist zunächst '"> = ^1 + \/^^^^ und danach 



T = - (5—1/5 + 1/10(51/5— 9)), d.h. es ergibt sich derselbe Grenzpunkt B, 

 wie in der fünften Gruppe. Wir bestimmen ferner den Schnittpunkt C von 

 Kn mit der Kurve C3. Setzen wir 0- = - — - , so reduziert sich nach 



Weglassung des Faktors 0^ die ganze Gleichung 188) auf 20 — tan^ — 4tan29)r=o, 

 d. h. es ist = ^^^1^ = 1,07295. Dazu ergibt sich t = ^^~^^^^ = i,2450. 



Die Kurve Äg hat also den in der Figur angedeuteten Verlauf. Die zwischen 

 der Geraden K^ und ihr liegenden Werte 0, r ergeben Polyeder der ersten 

 Klasse, die jenseits von ihr liegenden gehören der zweiten Klasse an. 



Ist der Kern der Stephanoidgruppieruug ein Deltoidhexekontaeder, 



also &■ = v^r~ , so nehmen die Grössen m, m\ m" die Form an : 



4 ÖC0t2(p' 



2 ö2 fö (tan BP -|- cot Ol) — 4 tan ml 



nid = — 



nia 



m"a = 



(4 — ÖCOt2gf))2 



2ö2(l — ö) tany) 

 ('4^^7cot2^)2 ~ 

 2ö^(ötan'g) — 3 +4tan9)) 



(4— ÖCOt2(p)2 



Soll nun die Hülle der Gruppierung ein (12 + 20) -flächiges 12. 5 -Eck 

 sein, so ist s = l, woraus sich für m, m', m" die Relation ergibt: 



■m" tan <p — m' — m tan 2 ^ = 0. 



