Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 285 



der sechseckigen Grenzfläche gleich der Kante /j, ist. Nun ist jene Dia- 

 gonale ') gleich ^2 + 7.3 und es ergibt die Gleichung fc, + ^ = /;i für s und t 

 nach 90') die Bedingung: 



192(?) ^_(5 — 2sl/5)(2+i/5) _ 



5 



Dies ist die Gleichung einer Geraden im Gebiete der konvexen 



2. 60 -Ecke zwischen dem Punkte 5=^^^, t = ^^^ + ^ für die A. V. des 



22 11 



20. 3 -Ecks und dem Punkte ^^ 9 + 51/5 ^^3(4l/5 + 5) ^^^ ^j^ ^ y ^^g 



22 55 



(12 + 20 + 30) -flächigen 60- Ecks. Diese beiden speziellen Polyeder sind die 



Grenzkörper einer Reihe von 2. 60 -Ecken mit Ecken zweiter Klasse, die 

 reguläre Zehnecke bilden. Das erste Greuzpolyeder gehört also gleich- 

 zeitig den Polyedern unter «) zu. 



7) Die Ecken dritter Klasse 21,22,23 30 ergeben ein 



reguläres Zehneck für 21,22 = 22,23, d. h. wenn die Kante ^3 der sechs- 

 kantigen Grenzfläche gleich der ä, parallelen zweiten Diagonale") der 2.5- 



ecksfläche ist. Diese Bedingung ist A3 = h^ + h-i L_ JZi . Daraus ergibt sich 



1. 1/5 + 1 

 für s und t die Relation: 



s(3 + t/5) — 1 



192 >') t = 



1) Sind Ä^i und itj die Kanten AB und BC eines gleicheckigen 2 .3-eck8 ABCDEF, 

 so sind die beiden Diagonalen d, = AC = |/£2 + h^"^ + ft^j, d-i = AD = k^ + Ic^. 



2) Sind Z;, und Z;2 die Kanten AB und £C eines gleicheckigen 2 . 5-ecks ABCD . . IK, 

 so sind die vier verschiedenen Diagonalen: 



di = AC = l/V+l?+lirMÖs360 = l/^i^+fcj^ + Ä, Äo^il^ 



d, = AD = A-i + 2 ^2 cos 36» = Ä-i + Ä, ^^"^^ , 



(?3 = ^J? ^ ^C ^- (als Diagonale eines regulären Fünfecks, dessen Kante J.C ist), 



di = AF ^ {Jcx -}-lci) (als Diagonale des Sehnenvierecks AEFG, in dem 



dt 



AE = AG = c?3, EF = Jci, FG = Ä21 -^^ = ^1 bekannt sind, mittels des Ptolemäischen 

 Satzes berechnet). 



