Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 287 



dieser Klasse werden hier illusorisch. — Die Ecken sechster Klasse 51, 52, . . . 60 

 eines 2. 60 -Ecks können überhaupt keine regulären Zehecke bilden, ausser 

 für den eben erledigten Grenzfall des Triakontagons. Es sind also im 

 Ganzen fünf Möglichkeiten vorhanden, 2. 60- Ecken, deren Parameter den 

 Bedingungen 192") — 192') genügen, Stephanoidgruppierungen einzuschreiben. 

 Welche von den 5^,0 im 2. 60 -Eck existieren können, soll nun zunächst 

 entschieden werden. 



2. Die Existenz von Stephanoiden St^o im (12 + 20 -f 30) -flächigen 

 2. 60 -Eck. Nach Kap. II § 3 Nr. 4 lassen sich einem regulären zehnseitigen 

 Prisma sechs verschiedene Stephanoide St^Q einschreiben, nämlich die vier 

 kontinuierlichen Stioi'l), StioQ), Stmi]) und Stu, Q), sowie die zwei diskontinuier- 

 lichen Ä^io (.*) = 2 St'-^ Q) und S^io (V) = 2 St-^ (J). Beschreibt man nun in die 

 fünfmal je sechs zehnseitigen Prismen, deren Ecken die eines 2. 60 -Ecks 

 sind, wie es in voriger Nummer charakterisiert wurde, diese Stephanoide, 

 so erhält man Gruppierungen, die diskontinuierliche gleicheckig -gleichflächige 

 Nullpolyeder darstellen, wenn sich als Kern ein gleichflächiges 

 Polyeder ergibt. Für die vier ersten eben angeführten Stephanoide trifft 

 dies nicht ein, wie hier ebenso bewiesen wird, wie für gewisse vermutete 

 Stephanoidgruppierungen im 2.24-Eck (vergl. Kap. III § 3 Nr. 4). Man 

 fasse in dem 2. 60 -Eck nur ein Prisma, dessen Ecken die Ecken i-ter 

 Klasse des 2.60-Ecks sind, ins Auge, etwa das, dessen Hauptachse G, G'i 

 ist, und beschreibe ihm (nach einander) die sechs verschiedenen Stephanoide 

 ein. Für das Prisma schlechthin sind seine zehn Nebenachsen gleichwertig, 

 nicht aber in Bezug auf das umhüllende 2.60-Eck. Soll nun ein Stephanoid 

 Stio zulässig sein, so müssen irgend zwei seiner Flächen in Bezug auf ent- 

 sprechende Achsenjjunkte kongruent oder wenigstens symmetrisch liegen, 

 wonach sie durch Umkehrung der einen mit einander zur Deckung gebracht 

 werden könnten. Diese Bedingung ist aber für die vier erstgenannten 

 Stephanoide nicht erfüllbar. Denn legt man durch die Achse G, G', sämtliche 

 2.5 Symmetrieebenen des 2.60-Ecks, so zerfallen diese in zwei gleich- 

 mächtige Gruppen von je fünf, deren in ihnen liegenden gleichzähligen 

 Achsen bei Drehung des Körpers um 72" zur Deckung kommen, während 

 für die abwechselnden Ebenen von G^ aus gerechnet, die Reihenfolge der 



