Die gleicheckig-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 303 



sind die vier ersten bereits von Hess beiläufig^) angegeben, aber nicht näher 

 untersucht worden. Hier erscheinen sie als Grenzfälle der soeben be- 

 sprochenen Gruppierungen von Stephanoiden 67,0 ("). Die Punkte, in denen 

 die Kurven Ä',, Z., /t'j, Ki, K-^ (vergl. die vorige Nr. 3) die Pentakisdodekaeder- 

 gerade C\ und die Triakisikosaedergerade Co, sowie die Deltoidhexekontaeder- 

 kurve C3 schneiden, ergeben die Werte und t der inneren Kerne dieser 

 vier Polyeder, deren begrenzende Flächen, sämtlich Sechsecke dritter Art, 

 ihre Ecken mit denen je zweier Flächen verschiedener Stephanoide gemein 

 haben, Avie jetzt weiter ausgeführt wird. 



a) Es sei für die erste und zweite Stephanoidgruppierung der Kern 

 die A. V. des Trikisikosaeders ; (vergl. Fig. 1, Taf. 12). Die beiden ersten 

 Grenzflächen je eines Stephanoides der beiden Gruppen, die Vierecke ABCD 

 und EIBC, fallen in der Ebene 1) des Triakisikosaeders zusammen. In 

 dem Dreiecke CDM überdecken sich eine positive und negative Zelle beider 

 Grenzflächen, so dass dieses Dreieck den Koeffizienten Null erhält und das 

 kontinuierliche Sechseck dritter Art ABCEID entsteht, die Fläche eines 

 kontinuierlichen Polyeders, das von 60 solchen Flächen begrenzt wird. Da 

 je zwei kongruente Zellen dieses Sechsecks die Koeffizienten + 1 und — 1 

 besitzen, so ist sein Inhalt Null, womit der Inhalt des Gesamtpolyeders ver- 

 schwindet. Dieses Polyeder ist in Fig. 2 Taf. 27 dargestellt. Die Ecken 

 sind sechskantig von der sechsten Art. Analog der Entstehung der sechs- 

 kantigen Grenzfläche dritter Art aus zwei überschlagenen Vierecken zweiter 

 Art setzen sich auch zwei überschlagene vierkantige Ecken vierter Art 

 zweier Stephanoide zu einer sechskantigen Ecke sechster Art zusammen. 

 Die Art ist « = 6, weil die Ecke bei Vertauschung der Innenseite mit der 

 Aussenseite in sich selbst übergeht. Den Querschnitt einer solchen Ecke 

 zeigt die der Fig. 1 Taf. 12 beigefügte Nebenfigur l^ Die Buchstaben Ä,B', 

 B^,B", .... geben beim Vergleich mit der Figur der Grenzfläche des Polyeders 

 die Zusammensetzung der Ecke aus den Kantenwinkeln A, (B\ Bo, B") .... der 



Ecken der Grenzfläche an. — Da das Polyeder — -^- = I8O Kanten besitzt 



und 180 überstumpfe Kantenwinkel (jede Fläche drei), so ist für die Art A 

 nach der Formel von Hess:'-) 2 J. = 60.3 + 60.6 — 180— 180 = 180, d. h. ^=90, 



1) Vergl. Marburger Berichte 1877, Nr. 1. 



^) Dasselbe gilt für die drei folgenden Polyeder. 



