Die gleicheckig-gleicLflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyeder. 307 



gedeuteten irregulären Querschnitt, wobei die 2.60 Ecken in zwei Gruppen 

 von je 60, rechten und linken, zerfallen. Ein Vergleich dieses Ecken- 

 schnittes mit der Figur der Grenzfläche (Fig. 7 Taf. 11) zeigt die Bildung 

 der Ecke durch die einzelnen Kantenwinkel der Fläche. Der Querschnitt 

 der Ecke des Stephanoides der ersten Gruppe für sich allein ist das Vier- 

 eck MNOP, der der Ecke des Stephanoides der fünften Gruppe ist das 

 Viereck PQBS. Dabei liegt der Kantenwinkel PO der ersten Ecke in der- 

 selben Ebene mit dem Kantenwinkel PQ der zweiten Ecke. Durch Tilgung 

 eines Teiles des Kantenwinkels PM, nämlich des Winkels PS, ergibt sich 

 die sechskantige Ecke 3IN0QES, und die an der Ecke teilhabenden 

 Kantenwinkel tragen nun dieselbe Benennung a, c, g . .. wie in der Flächen- 

 figur. Der Kantenwinkel der Ecke D der Fläche wird in die beiden Teile 

 t' und e" zerlegt, die mit verschiedenen Seiten der Aussenseite der Ecke 

 angehören. Dasselbe gilt für die Teile h' und h" des Kantenwinkels h in 

 der Ecke F der Fläche. Der getilgte Winkel PS der P]cke entspricht dem 

 getilgten Teile d der Fläche in der Ecke B. Es besitzt, wie die Figur 

 zeigt, die Ecke des Polyeders drei einspringende und drei ausspringende 

 Flächenwinkel, nämlich die drei überstumpfen Flächenwinkel in 0, Q und S. 

 Von den Kantenwinkeln einer Ecke sind zwei überstumpf, nämlich die beiden 

 Winkel OQ = r] + f\mä ON~s' + t". Die Art der Ecke ist «=5. Es ist 



also für das Polj-eder .5;« = 120.3, JS"« = 120.5, -S 5^ = 1 20. 2 und ^ = ^--^ = 360, 



somit 2^=120.3 + 120.5 — 120.2—120.3 = 3.120, d. h. ^ = 180. Vertauscht 

 man die Innenseite des Polyeders mit der Aussenseite,^) so ist a' = 3, «' = 7, 

 ^x'= 120.4, da jede Fläche jetzt vier überstumpfe Winkel hat; und da 

 .^' = ^=360 verbleibt, so ist 2^' = 120.3 + 120.7 — 120.4 — 120.3 = 3.120, 



d.h. J.' = J.= -. Der Inhalt des Polyeders ist also wiederum Null, aber 



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die Grenzfläche besitzt bei verschwindendem Inhalte nur eine positive Zelle, 

 dafür aber auch eine Zelle mit dem Koeffizienten — 2. Während bei dem 

 ursprünglichen Polyeder (vergl. den Querschnitt der Ecke) die Zelle N3ISR.. 

 der Ecke positiv, die andere OQ.: negativ war, tritt bei Änderung der 

 Färbung des Polyeders das Gegenteil ein. Verfolgen wir dies beim ur- 



') Das umgefärbte Polyeder bietet hier einen anderen Anblick dar, wie vorher, 

 wovon man sich durch die zweimalige Ausführung am Modell leicht überzeugt. Bei den 



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