308 Max Brückner, 



sprünglichen Polyeder noch genauer. Von der Flüche des Polyeders, wie 

 sie gezeichnet vorliegt, nehmen ausgemachtermassen die senkrecht schraffierten 

 Teile mit ihrer Oberseite, die wagrecht schraffierten mit ihrer Unterseite 

 an der Aussenfläehe des Polyeders teil. Es ist also a, c, g, h' aussen positiv ; 

 h" nimmt mit der Unterseite an der äusseren Oberfläche teil, ist also aussen 

 negativ, wie denn in der Tat der Kantenwinkel h" zur negativen Zelle der 

 Ecke gehört, f und ?/ nehmen mit der Oberseite der Fläche — die aber 

 negativ ist — an der Aussenseite der Polyederoberfläche teil und bilden mit 

 £', dessen obere Seite ebenfalls negativ ist, die negative Zelle der Ecke. 

 t" ist oben negativ, nimmt aber mit der unteren positiven Seite am Aufbau 

 der Ecke teil und gehört, wie die Figur der Ecke zeigt, zur äusseren Fläche 

 von deren positiver Zelle. — Es ist selbstverständlich, dass die Hülle dieses 



autopolaren Polveders, das (12 + 20 + 30) -flächige 2. 60 -Eck für s=:^i--?-iZ 

 t = "^ '^ ° , polan-eziprok dem inneren Kern ist. Für die Kanten der Hülle 

 war bereits die Proportion Jc^ -.hi-.hi^^ i-.i-. ^ abgeleitet. 



Es hat keinerlei wesentliche Schwierigkeit, für die fünf beschriebenen 

 Nullpolyeder die Längen der verschiedenen Kanten der Grenzfläche, ihre 

 Winkel u. s. w. zu berechnen, nachdem die Koordinaten der Ecken gefunden 

 sind. Die Endresultate sind aber bei ihrer verhältnismässigen Kompliziertheit 

 von geringem Interesse. AVir geben vielmehr zum Schlüsse noch für jedes 

 der fünf Polyeder die Ecken des betreffenden gleicheckigen Hüllpolyeders 

 an, die der ersten Fläche des Polyeders zugehören, wodurch die Lage der 

 Grenzfläche innerhalb des Hüllpolyeders deutlicher wird. «) Orientieren wir 

 das gleicheckige (12 + 20 + 30) -flächige 60 -Eck so im Räume, dass die Achse 

 G3 senkrecht nach oben verläuft, die Achse Ci in der Symmetrieebene nach 

 vorn, so sind die Ecken der ersten Fläche des unter «) angeführten Null- 

 polyeders, d. h. der in der Zeichenebene l) des Triakisikosaeders liegenden 

 Fläche, die Ecken 16), 43), 22), 30), 7), 40) des 60- Ecks, der Reihenfolge nach 

 den Ecken Ä, B, C, E, F, D der Grenzfläche korrespondierend, ri) Verläuft 

 die Achse C, des (12 + 20) -flächigen 20.3-Ecks im Räume senkrecht nach 



sonstigen Modellen der Nnllpolyeder erhält man wegen der Umkehrbarkeit der Ecken immer 

 dasselbe Gesamtbild der Polyeder. 



