310 Max Brückner, 



§ 5. Die koiitinuierlielien nichtkonvexen Polyeder erster Klasse, 



die diskontinnierlielien niclitkouvexen Polyeder 



erster und zweiter Klasse, sowie die 31öbiusschen Polyeder 



im Dyakishexekontaedertypus. 



1. Die kontinuierlichen nichtkonvexen Polyeder erster Klasse. 

 Die iiichtkonvexen Polyeder erster Klasse des Dyakishexekontaedertypus haben 

 sich ebenso wie die bezüglichen Polyeder des Hexakisoktaedertypus bei 

 Untersnchnng- der vollständigen Figuren der Kerne ergeben, die für die 

 Gruppierungen der Sphenoide und Stephanoide in Frage kamen. Es sind 

 im Ganzen fünf solcher Polyeder gefunden worden, von denen drei auto- 

 polar, die beiden letzten einander polarreziprok zugeordnet sind. Die unter 

 a) und h) hier angeführten autopolaren Polyeder sind die von Hess') bereits 

 beschriebenen, die übrigen sind neu. 



a) Das I2(l0)4-eckige I2(l0)4-Flach der 18. Art^) Ist seiner 

 äusseren Oberfläche nach vollkommen identisch mit dem Poinsotschen 

 zwölfflächigeu Sternzwölfecke der dritten Art. Die Fläche ist das Zehneck 

 ÄBEAJDECDBCiÄ) in der vollständigen Figur des Dodekaeders, Fig. 7 

 Taf. 10. Seine fünf kürzeren Kanten kehren dem Mittelpunkte die Innen- 

 seite, seine fünf längeren Kanten ihm ihre Aussenseite zu, wonach die 

 innerste Zelle, eine Fläclie des Dodekaeders, den Koeffizienten — i hat, 

 während die an sie grenzenden gleichschenklig- dreieckigen Zellen den 

 Koeffizienten Null, die fünf äussersten Zellen den Koeffizienten + 1 besitzen. 

 Die zehn Ecken der Fläche fallen zu je zwei zusammen, so dass also 

 immer je zwei Kantenwinkel in einer Ebene liegen. Die Fläche hat die 

 Art a = 4.^) In jeder (5 4-5) -kantigen Ecke der vierten Art des nichtkonvexen 

 Polyeders liegen fünf solcher Flächen. Der sphärische Schnitt der Ecke 

 bietet den Anblick eines Sternfünfecks ohne die fünf den inneren Kern be- 

 grenzenden Strecken. Die Art des Polyeders ergibt sich zu A = m aus der 



') Hess, Ueber die zugleich gleicheckigen und gleichfläcliigen Polyeder, Cassel 1876, 

 S. 34 und nochmals: Marb. Berichte 1877 Nr. 1 S. 7. Die Angaben der Zellenkoüffizienten 

 sind an beiden Stellen irrtümlicli. (Ebenso V. u. V. S. 215.) 



-) Vergl. die Abbildung des Modelles in V. u. V. Taf. IX Fig. 7. 



3) Vergl. V. u.V. Taf. I Fig. 16. 



